Forme parabolique

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En mathématiques, une forme parabolique ou cuspidale (selon l'anglais cusp form) est une forme modulaire vérifiant des conditions d'annulation aux pointes.

Une forme modulaire $f$ pour le groupe modulaire $\Gamma =\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ est parabolique si $f$ tend vers zéro pour $\mathrm {Im} \,z\to \infty$ , car la courbe modulaire $\mathbb {H} /\Gamma$ n'a qu'une seule pointe (où $\mathbb {H}$ désigne le plan hyperbolique). Dans ce cas, une condition équivalente pour être parabolique est que la série de Fourier de $f$ est de la forme

f(z)=\sum _{n>0}a_{n}e^{2\pi inz}=\sum _{n>0}a_{n}q^{n}

avec $q=e^{2\pi iz}$ . L'annulation des $a_{n}$ pour $n<0$ signifie que $f$ est une forme modulaire holomorphe. L'annulation de $a_{0}$ la rend parabolique.

Forme parabolique de poids donné

Ici on considère les formes paraboliques pour le groupe modulaire $\Gamma =\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ . La définition implique que le poids d'une forme parabolique non-nulle est nécessairement pair. La dimension de l'espace vectoriel des formes paraboliques de poids $k=2m\in \mathbb {Z}$ peut être calculée avec le théorème de Riemann-Roch. Le résultat vaut $\left[{\frac {m}{6}}\right]-1$ si $m\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 6$ et $\left[{\frac {m}{6}}\right]$ sinon. Ainsi, les plus petits poids pour lesquels existent des formes paraboliques non-triviaux sont

k=12,16,18,20,22,26

,

et dans chacun de ces cas, la forme parabolique est unique à multiplication par un complexe près.

Par exemple, l'unique forme parabolique de poids 12 (à multiplication par un complexe près) est le discriminant modulaire

\Delta (z)=(2\pi )^{12}\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)\,{\mathrm {e} }^{2\pi inz}

,

dont les coefficients de Fourier $\tau (n)$ définissent la fonction tau de Ramanujan.

Références

Tom Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 41. Springer-Verlag, New York, 1990. (ISBN 0-387-97127-0)

Voir aussi

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