Formules trigonométriques en kπ/9

Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de $π/9$ .

Valeurs approchées

Le nombre $\cos \frac{π}{9} = \cos 2 0^{\circ} = \sin \frac{7 π}{18} = \sin 7 0^{\circ}$ a pour développement décimal : $0, 9396926207...$ , suite A019879 de l'OEIS.

Le nombre $\sin \frac{π}{9} = \sin 2 0^{\circ} = \cos \frac{7 π}{18} = \cos 7 0^{\circ}$ a pour développement décimal : $0, 342020143...$ , suite A019829 de l'OEIS.

Constructibilité

Le nombre $\cos \frac{π}{9}$ n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'ennéagone régulier.

Expression par radicaux

Le nombre $\cos \frac{π}{9}$ est exprimable par radicaux complexes : $\cos \frac{π}{9} = \frac{1}{2} (\sqrt[3]{e^{i π / 3}} + \sqrt[3]{e^{- i π / 3}}) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{2}} (\sqrt[3]{1 + i \sqrt{3}} + \sqrt[3]{1 - i \sqrt{3}})$

mais n'est pas exprimable par radicaux réels. C'est le casus irreducibilis.

Polynômes minimaux

Article détaillé : Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques.

L'équation $x^{3} - 3 x - 1 = 0$ a pour solutions :
$2 \cos \frac{π}{9}, - 2 \cos \frac{2 π}{9}, - 2 \cos \frac{4 π}{9}$ ,

ce qui montre que $\cos \frac{π}{9}$ est la moitié d'un entier algébrique.

Démonstration

Remarquons que $\cos \frac{5 π}{9} = \cos (π - \frac{4 π}{9}) = - \cos \frac{4 π}{9}$ ; $θ = \frac{π}{9}$ est donc solution de

\cos 5 θ = - \cos 4 θ (1)

.

Cherchons les autres. L'équation (1) s'écrit $\cos 5 θ = \cos (π - 4 θ)$ qui équivaut à $5 θ = π - 4 θ + 2 k π$ ou $5 θ = 4 θ - π + 2 k π$ , et on obtient $θ = \frac{π}{9} + 2 k \frac{π}{9}$ ou $θ = - π + 2 k π$ .

Si on pose $x = \cos θ$ , on remarque donc que (1) équivaut à $x = \cos \frac{π}{9}, \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}, \cos \frac{5 π}{9} = - \cos \frac{4 π}{9}, \cos \frac{7 π}{9} = - \cos \frac{2 π}{9} ou - 1$ .

Or $\cos 5 θ = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ et $\cos 4 θ = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ .

Donc (1) équivaut à $16 x^{5} + 8 x^{4} - 20 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ . Les points $- 1, \frac{1}{2}$ étant solutions, on peut factoriser par $(x + 1) (2 x + 1)$ et on obtient que (1) équivaut à

(x + 1) (2 x + 1) (8 x^{3} - 6 x - 1) = 0

.

En remplaçant $x$ par $x / 2$ , on obtient que $x^{3} - 3 x - 1 = 0$ a bien pour solutions $2 \cos \frac{π}{9}, - 2 \cos \frac{2 π}{9}, - 2 \cos \frac{4 π}{9}$ .

L'équation $x^{3} - 9 x + 9 = 0$ a pour solutions :

$2 \sqrt{3} \sin \frac{π}{9}, 2 \sqrt{3} \sin \frac{2 π}{9}, - 2 \sqrt{3} \sin \frac{4 π}{9}$ , ce qui montre que $\sin \frac{π}{9}$ est le quotient d'un entier algébrique par $2 \sqrt{3}$ .
Démonstration succincte: En utilisant les polynômes de Tchebychev et en factorisant on obtient $\sin 9 t = x (4 x^{2} - 3) (64 x^{6} - 96 x^{4} + 36 x^{2} - 3)$ où $x = \sin t$ . En changeant $x$ en $x / (2 \sqrt{3})$ dans $64 x^{6} - 96 x^{4} + 36 x^{2} - 3$ , on obtient $(x^{6} - 18 x^{4} + 81 x^{2} - 81) / 27$ ,; et $x^{6} - 18 x^{4} + 81 x^{2} - 81$ se factorise bien en $(x^{3} - 9 x - 9) (x^{3} - 9 x + 9)$ .

L'équation $x^{3} - 9 x^{2} - 9 x + 9 = 0$ a pour solutions :

\sqrt{3} \tan \frac{π}{9}, - \sqrt{3} \tan \frac{2 π}{9}, \sqrt{3} \tan \frac{4 π}{9}

, ce qui montre que

\tan \frac{π}{9}

est le quotient d'un entier algébrique par

\sqrt{3}

.

Démonstration

En utilisant la formule $\tan n x = \frac{Im (1 + i \tan x)^{n}}{Re (1 + i \tan x)^{n}}$ , on obtient que $\tan 9 θ = \frac{t (t^{8} - 36 t^{6} + 126 t^{4} - 84 t^{2} + 9)}{1 + ...}$ , où $t = \tan θ$ .

Comme $\tan 9 θ = 0 \Leftrightarrow θ = k π / 9$ , les 8 solutions de $t^{8} - 36 t^{6} + 126 t^{4} - 84 t^{2} + 9 = 0$ sont $\pm \tan π / 9, \pm \tan 2 π / 9, \pm \tan π / 3, \pm \tan 4 π / 9$ .

En remplaçant $t$ par $x \sqrt{3}$ , on obtient que $x^{8} - 108 x^{6} + 1134 x^{4} - 2268 x^{2} + 729 = 0$ a pour solutions $\pm \sqrt{3} \tan π / 9, \pm \sqrt{3} \tan 2 π / 9, \pm \sqrt{3} \tan 3 π / 9 = \pm 3, \pm \sqrt{3} \tan 4 π / 9$ .

Or $x^{8} - 108 x^{6} + 1134 x^{4} - 2268 x^{2} + 729 = (x^{2} - 9) (x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 9) (x^{3} - 9 x^{2} - 9 x + 9)$ .

Une étude permet de déterminer que les solutions de $x^{3} - 9 x^{2} - 9 x + 9 = 0$ sont $\sqrt{3} \tan \frac{π}{9}, - \sqrt{3} \tan \frac{2 π}{9}, \sqrt{3} \tan \frac{4 π}{9}$ et celles de $x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 9 = 0$ leurs opposées.

Formules homogènes

On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux solutions des équations précédentes :

${\begin{matrix} \cos \frac{π}{9} - \cos \frac{2 π}{9} - \cos \frac{4 π}{9} = 0 \\ \cos \frac{π}{9} \cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} = \frac{1}{8} \\ \cos \frac{π}{9} \cos \frac{2 π}{9} + \cos \frac{π}{9} \cos \frac{4 π}{9} - \cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} = \frac{3}{4} \end{matrix}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi $\cos (2 0^{\circ}) \cos (4 0^{\circ}) \cos (8 0^{\circ}) = \frac{1}{8}$ , s'appelle la première loi de Morrie.

${\begin{matrix} \sin \frac{π}{9} + \sin \frac{2 π}{9} - \sin \frac{4 π}{9} = 0 \\ \sin \frac{π}{9} \sin \frac{2 π}{9} \sin \frac{4 π}{9} = \frac{\sqrt{3}}{8} \\ \sin \frac{π}{9} \sin \frac{2 π}{9} - \sin \frac{π}{9} \sin \frac{4 π}{9} - \sin \frac{2 π}{9} \sin \frac{4 π}{9} = - \frac{3}{4} \end{matrix}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi $\sin (2 0^{\circ}) \sin (4 0^{\circ}) \sin (8 0^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{8}$ , s'appelle la deuxième loi de Morrie.

${\begin{matrix} \tan \frac{π}{9} - \tan \frac{2 π}{9} + \tan \frac{4 π}{9} = 3 \sqrt{3} \\ \tan \frac{π}{9} \tan \frac{2 π}{9} \tan \frac{4 π}{9} = \sqrt{3} \\ \tan \frac{π}{9} \tan \frac{2 π}{9} - \tan \frac{π}{9} \tan \frac{4 π}{9} + \tan \frac{2 π}{9} \tan \frac{4 π}{9} = 3 \end{matrix}$

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles--Pi/9 », sur MathWorld

Voir aussi

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