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Fréquentisme

interprétation de la probabilité

La probabilité fréquentiste ou fréquentisme est une interprétation de la probabilité qui définit la probabilité d'un événement comme étant égale à la limite de sa fréquence empirique au cours de nombreux essais (la probabilité à long terme)[1]. Les probabilités peuvent ainsi être trouvées (en principe) par un processus objectif reproductible (et donc dépourvues d'opinion). L’utilisation de méthodes fréquentistes dans l’inférence scientifique a cependant été remise en question[2],[3],[4].

John Venn, qui a fourni une exposition approfondie de la probabilité fréquentiste dans son livre, The Logic of Chance .

Le développement du récit fréquentiste a été motivé par les problèmes et les paradoxes du point de vue auparavant dominant, l'interprétation classique. Dans l'interprétation classique, la probabilité était définie en termes du principe d'indifférence, basé sur la symétrie naturelle d'un problème. Ainsi, par exemple, les probabilités des jeux de dés découlent de la symétrie naturelle à 6 faces du cube. Cette interprétation classique butait sur tout problème statistique dépourvu de symétrie naturelle pour le raisonnement.

Définition

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Dans l’approche fréquentiste de la probabilité, celle-ci est uniquement abordée dans le contexte d’expériences aléatoires clairement définies. L’ensemble total des issues possibles de telle expérience est désigné comme l’espace échantillon. Au sein de cet espace, un événement est identifié comme un sous-ensemble spécifique à examiner. Pour chaque événement, il existe seulement deux issues possibles : soit l’événement se produit, soit il ne se produit pas. La probabilité d’un événement est mesurée par la fréquence relative avec laquelle il se manifeste au cours de multiples répétitions de l’expérience. Cette mesure de fréquence relative est fondamentale à la conception de la probabilité selon l’interprétation fréquentiste. L’approche fréquentiste prétend que, à mesure que le nombre d’essais augmente, la variation de la fréquence relative diminue. Par conséquent, on peut considérer une probabilité comme la valeur limite des fréquences relatives correspondantes.

Portée

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L'interprétation fréquentiste est une approche philosophique de la définition et de l'utilisation des probabilités ; c'est l'une des nombreuses approches de ce type. Il ne prétend pas capturer toutes les connotations du concept « probable » dans le langage familier des langues naturelles.

En tant qu’interprétation, elle n’est pas en conflit avec l’axiomatisation mathématique de la théorie des probabilités ; il fournit plutôt des conseils sur la manière d’appliquer la théorie mathématique des probabilités à des situations du monde réel. Il offre des conseils distincts dans la construction et la conception d'expériences pratiques, surtout lorsqu'il est comparé à l'interprétation bayésienne. La question de savoir si ces conseils sont utiles ou s'ils sont susceptibles d'être mal interprétés a été une source de controverse. En particulier lorsque l'on suppose à tort que l'interprétation fréquentielle de la probabilité est la seule base possible pour une inférence fréquentiste. Ainsi, par exemple, une liste d’interprétations erronées de la signification des valeurs p accompagne l’article sur les valeurs p ; les controverses sont détaillées dans l'article sur les tests d'hypothèses statistiques. Le paradoxe Jeffreys-Lindley montre comment différentes interprétations, appliquées au même ensemble de données, peuvent conduire à des conclusions différentes sur la « signification statistique » d'un résultat.]

Comme le note Feller :[5],[note 1]

« There is no place in our system for speculations concerning the probability that the sun will rise tomorrow. Before speaking of it we should have to agree on an (idealized) model which would presumably run along the lines "out of infinitely many worlds one is selected at random ..." Little imagination is required to construct such a model, but it appears both uninteresting and meaningless. »

« Il n’y a pas de place dans notre système pour des spéculations concernant la probabilité que le soleil se lève demain. Avant d’en parler, nous devrions nous entendre sur un modèle (idéalisé) qui se déroulerait probablement selon les lignes “parmi un nombre infini de mondes, un est choisi au hasard…”. Peu d’imagination est nécessaire pour construire un tel modèle, mais il semble à la fois inintéressant et dénué de sens. »

Histoire

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« Le probable est ce qui arrive le plus souvent »[6]

— Aristote, Rhétorique

Le point de vue fréquentiste a peut-être été annoncé par Aristote, dans Rhétorique[7], lorsqu'il a écrit :

Poisson (1837) distingue clairement les probabilités objectives et subjectives[8] Peu de temps après, une série de publications presque simultanées de Mill, Ellis (1843) [9] et Ellis (1854), [10] Cournot (1843)[11], et Fries introduisirent le point de vue fréquentiste. Venn (1866, 1876, 1888) a fourni une exposition approfondie deux décennies plus tard. Celles-ci ont été renforcées par les publications de Boole et Bertrand. À la fin du 19 siècle, l’interprétation fréquentiste était bien établie et peut-être dominante dans les sciences[8] La génération suivante a établi les outils des statistiques inférentielles classiques (tests de signification, tests d’hypothèses et intervalles de confiance), tous basés sur la probabilité fréquentiste.

Alternativement,[12] Bernoulli [note 2] a compris le concept de probabilité fréquentiste et a publié une preuve critique (la loi faible des grands nombres ) à titre posthume (Bernoulli, 1713)[13]. On lui attribue également une certaine appréciation de la probabilité subjective (avant et sans le théorème de Bayes )[14] [note 3] [15] Gauss et Laplace ont utilisé la probabilité fréquentiste (et autre) dans les dérivations de la méthode des moindres carrés un siècle plus tard, une génération avant Poisson[12] Laplace a considéré les probabilités des témoignages, des tables de mortalité, des jugements des tribunaux, etc. qui sont des candidats peu probables à la probabilité classique. De ce point de vue, la contribution de Poisson a été sa critique acerbe de l'interprétation alternative des probabilités « inverses » (subjectives, bayésiennes). Toute critique de Gauss ou de Laplace était sourde et implicite. (Cependant, notez que leurs dérivations ultérieures des moindres carrés n'ont pas utilisé la probabilité inverse.)

Les principaux contributeurs aux statistiques « classiques » du début du XXe siècle étaient Fisher, Neyman et Pearson. Fisher a contribué à la plupart des statistiques et a fait des tests de signification le cœur de la science expérimentale, bien qu'il ait critiqué le concept fréquentiste d'« échantillonnage répété à partir de la même population » ; [16] Neyman a formulé des intervalles de confiance et a largement contribué à la théorie de l'échantillonnage ; Neyman et Pearson se sont associés pour créer des tests d'hypothèses. Tous valorisaient l’objectivité, c’est pourquoi la meilleure interprétation de la probabilité dont ils disposaient était fréquentiste.

Tous se méfiaient de la « probabilité inverse » (l’alternative disponible) avec des probabilités préalables choisies en utilisant le principe d’indifférence. Fisher a dit : "... la théorie de la probabilité inverse est fondée sur une erreur, [se référant au théorème de Bayes] et doit être entièrement rejetée. »[17] Alors que Neyman était un pur fréquentiste, [18] [note 4] les vues de Fisher sur la probabilité étaient uniques : Fisher et Neyman avaient une vision nuancée des probabilités. von Mises a offert une combinaison de soutien mathématique et philosophique au fréquentisme à l'époque[19],[20]

Étymologie

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Les principales sources historiques en probabilités et en statistiques n'utilisaient pas la terminologie actuelle des probabilités classiques, bayésiennes et fréquentistes.

La séquence historique a fait comme suit:

  1. Les concepts de probabilité ont été introduits et une grande partie des mathématiques des probabilités en ont été dérivées (avant le 20e siècle). siècle)
  2. des méthodes classiques d'inférence statistique ont été développées
  3. les fondements mathématiques des probabilités ont été solidifiés et la terminologie actuelle a été introduite (le tout au 20e siècle).

Selon l'Oxford English Dictionary, le terme fréquentiste a été utilisé pour la première fois par MG Kendall en 1949, pour contraster avec les Bayésiens, qu'il appelait non-fréquentistes[21],[22] Kendall a observé

« nous pouvons globalement distinguer deux attitudes principales. L'une considère la probabilité comme « un degré de croyance rationnelle », ou une idée similaire... la seconde définit la probabilité en termes de fréquences d'occurrence d'événements, ou par des proportions relatives dans des « populations » ou des « collectifs » »[23]

« On pourrait penser que les différences entre les fréquentistes et les non-fréquentistes (si je peux les appeler ainsi) sont en grande partie dues aux différences dans les domaines qu'ils prétendent couvrir »[24]

« J'affirme que ce n'est pas le cas... La distinction essentielle entre les fréquentistes et les non-fréquentistes est, je pense, que les premiers, dans un effort pour éviter tout ce qui pourrait ressembler à des questions d'opinion, cherchent à définir la probabilité en termes de propriétés objectives d'une population, réelle ou hypothétique. alors que ces derniers ne le font pas. »[25]

« La théorie fréquentielle des probabilités » avait été utilisée une génération plus tôt comme titre de chapitre dans Keynes (1921)[7]

Vues alternatives

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La théorie des probabilités est une branche des mathématiques. Bien que ses racines remontent à plusieurs siècles, il atteint sa maturité avec les axiomes d’Andreï Kolmogorov en 1933. La théorie se concentre sur les opérations valides sur les valeurs de probabilité plutôt que sur l'attribution initiale des valeurs ; les mathématiques sont largement indépendantes de toute interprétation des probabilités.

Les applications et interprétations des probabilités sont prises en compte par la philosophie, les sciences et les statistiques. Tous s'intéressent à l'extraction de connaissances à partir d'observations : le raisonnement inductif. Il existe une variété d’interprétations concurrentes ; [26] Tous ont des problèmes. L'interprétation fréquentiste résout les difficultés de l'interprétation classique, comme tout problème pour lequel la symétrie naturelle des résultats n'est pas connue. Il n'aborde pas d'autres questions, comme celle du livre néerlandais.

  • Les probabilités classiques attribuent des probabilités basées sur une symétrie physique idéalisée (dés, pièces de monnaie, cartes). La définition classique présente un risque de circularité : les probabilités sont définies en supposant l'égalité des probabilités[27]. En l’absence de symétrie, l’utilité de la définition est limitée.
  • La probabilité bayésienne (une famille d'interprétations concurrentes) prend en compte les degrés de croyance : toutes les interprétations probabilistes « subjectives » pratiques sont tellement contraintes à la rationalité qu'elles évitent la plupart des subjectivités. La vraie subjectivité répugne à certaines définitions de la science qui s’efforcent d’obtenir des résultats indépendants de l’observateur et de l’analyste.[réf. nécessaire] D'autres applications du bayésianisme en science (par exemple le bayésianisme logique) englobent la subjectivité inhérente à de nombreuses études et objets scientifiques et utilisent le raisonnement bayésien pour placer des limites et un contexte sur l'influence des subjectivités sur toute analyse[28] Les racines historiques de ce concept s'étendaient à des applications non numériques telles que les preuves juridiques.
  • La probabilité de propension considère la probabilité comme un phénomène causal plutôt que comme un phénomène purement descriptif ou subjectif[26]

Notes et références

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Notes

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  1. ↑ Le commentaire de Feller est une critique de la solution de Pierre-Simon Laplace au problème du « lever de soleil du lendemain », qui utilisait une autre interprétation des probabilités.
    Malgré l'avertissement explicite et immédiat de Laplace, basé sur l'expertise personnelle de Laplace en astronomie et en probabilités, deux siècles de critiques ont suivi.
  2. ↑ Le mathématicien suisse Jacob Bernoulli, membre de la célèbre famille Bernoulli, vivait dans un pays multilingue et entretenait une correspondance et des contacts réguliers avec des locuteurs allemands et français, et publiait en latin, langues qu'il parlait toutes couramment. Il utilisait fréquemment et avec aisance les trois noms « Jacob », « James » et « Jacques », selon la langue dans laquelle il s'exprimait ou écrivait.
  3. ↑ Bernoulli a donné l'exemple classique du tirage d'un grand nombre de cailloux noirs et blancs dans une urne (avec remplacement). Le ratio d'échantillonnage a permis à Bernoulli de déduire le ratio dans l'urne, avec des limites plus étroites au fur et à mesure que le nombre d'échantillons augmentait.
    Les historiens peuvent interpréter cet exemple comme une probabilité classique, fréquentiste ou subjective. David écrit : « James a définitivement lancé ici la controverse sur la probabilité inverse&nbsp ;... ». Bernoulli a écrit des générations avant Bayes, LaPlace et Gauss. La controverse continue. - Modèle:Harvp[15]
  4. ↑ La dérivation des intervalles de confiance de Jerzy Neyman a adopté les axiomes de la théorie de la mesure des probabilités publiés par Andrey Kolmogorov quelques années plus tôt, et a fait référence aux définitions de la « probabilité subjective » (bayésienne) que Sir Harold Jeffreys avait publiées plus tôt au cours de la décennie. Neyman a défini la « probabilité fréquentiste » (sous le nom de « classique ») et a affirmé la nécessité d'un caractère aléatoire dans les échantillons ou les essais répétés. Il a accepté en principe la possibilité de multiples théories concurrentes de la probabilité, tout en exprimant plusieurs réserves spécifiques sur l'interprétation alternative existante de la probabilité

Références

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  1. ↑ D. Kaplan, Bayesian Statistics for the Social Sciences, Guilford Publications, coll. « Methodology in the Social Sciences », (ISBN 978-1-4625-1667-4, lire en ligne), p. 4
  2. ↑ Goodman, « Toward evidence-based medical statistics. 1: The p value fallacy », Annals of Internal Medicine, vol. 130, no 12,‎ , p. 995–1004 (PMID 10383371, DOI 10.7326/0003-4819-130-12-199906150-00008, S2CID 7534212)
  3. ↑ Morey, Hoekstra, Rouder et Lee, « The fallacy of placing confidence in confidence intervals », Psychonomic Bulletin & Review, vol. 23, no 1,‎ , p. 103–123 (PMID 26450628, PMCID 4742505, DOI 10.3758/s13423-015-0947-8)
  4. ↑ Matthews, « The p-value statement, five years on », Significance, vol. 18, no 2,‎ , p. 16–19 (DOI 10.1111/1740-9713.01505, S2CID 233534109)
  5. ↑ W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1, , p. 4
  6. ↑ Aristote, Rhétorique, Bk 1, Ch 2
    discussed in
    J. Franklin, The Science of Conjecture: Evidence and probability before Pascal, Baltimore, MD, The Johns Hopkins University Press, (ISBN 0801865697), p. 110
  7. ↑ a et b J.M. Keynes, A Treatise on Probability, , « Chapter VIII – The frequency theory of probability »
  8. ↑ a et b Gerd Gigerenzer, Porter Swijtink, Beatty Daston et Krüger Daston, The Empire of Chance : How probability changed science and everyday life, Cambridge, UK / New York, NY, Cambridge University Press, , 35–36, 45 (ISBN 978-0-521-39838-1)
  9. ↑ Ellis, « On the foundations of the theory of probabilities », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 8,‎
  10. ↑ Ellis, « Remarks on the fundamental principles of the theory of probabilities », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 9,‎
  11. ↑ A.A. Cournot, Exposition de la théorie des chances et des probabilités, Paris, FR, L. Hachette, (lire en ligne)
  12. ↑ a et b Anders Hald, A history of Parametric Statistical Inference from Bernoulli to Fisher, 1713 to 1935, København, DM, Anders Hald, Department of Applied Mathematics and Statistics, University of Copenhagen, , 1–5 p. (ISBN 978-87-7834-628-5)
  13. ↑ (la) Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & applicationem praecedentis doctrinae in civilibus, moralibus, & oeconomicis,
  14. ↑ Fienberg, « A Brief History of Statistics in Three and One-half Chapters: A Review Essay », Statistical Science, vol. 7,‎ , p. 208–225 (DOI 10.1214/ss/1177011360)
  15. ↑ a et b F.N. David, Games, Gods, & Gambling, New York, NY, Hafner, , 137–138 p.
  16. ↑ Rubin, « "Repeated sampling from the same population?" A critique of Neyman and Pearson's responses to Fisher », European Journal for Philosophy of Science, vol. 10, no 42,‎ , p. 1–15 (DOI 10.1007/s13194-020-00309-6, S2CID 221939887, lire en ligne)
  17. ↑ R.A. Fisher, Statistical Methods for Research Workers
  18. ↑ Neyman, « Outline of a theory of statistical estimation based on the classical theory of probability », Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, vol. 236, no 767,‎ , p. 333–380 (DOI 10.1098/rsta.1937.0005, Bibcode 1937RSPTA.236..333N)
  19. ↑ (de + en) Richard von Mises, Probability, Statistics, and Truth, Dover Publications, (1re éd. 1939) (ISBN 0486242145), p. 14
  20. ↑ Donald Gilles, Philosophical Theories of Probability, Psychology Press, (ISBN 9780415182751), « Chapter 5 – The frequency theory », p. 88
  21. ↑ « Earliest known uses of some of the words of probability & statistics », leidenuniv.nl, Leiden University
  22. ↑ Kendall, « On the Reconciliation of Theories of Probability », Biometrika, vol. 36, nos 1-2,‎ , p. 101–116 (PMID 18132087, DOI 10.1093/biomet/36.1-2.101, JSTOR 2332534)
  23. ↑ Kendall 1949, p.  101.
  24. ↑ Kendall 1949, p.  104.
  25. ↑ Kendall 1949, souligné dans l'original.
  26. ↑ a et b Alan Hájek, « Interpretations of probability », dans Edward N. Zalta, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, (lire en ligne)
  27. ↑ Robert B. Ash, Basic Probability Theory, New York, NY, Wiley, , 1–2 p.
  28. ↑ Fairfield et Charman, « Explicit Bayesian analysis for process tracing: Guidelines, opportunities, and caveats », Political Analysis, vol. 25, no 3,‎ , p. 363–380 (DOI 10.1017/pan.2017.14, S2CID 8862619, lire en ligne)

 Voir aussi

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Articles connexes

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