Graphe icosaédrique
Le graphe icosaédrique est, en théorie des graphes, un graphe 5-régulier possédant 12 sommets et 30 arêtes.
| Graphe icosaédrique | |
 Représentation planaire du graphe icosaédrique. | |
| Nombre de sommets | 12 |
|---|---|
| Nombre d'arêtes | 30 |
| Distribution des degrés | 5-régulier |
| Rayon | 3 |
| Diamètre | 3 |
| Maille | 3 |
| Automorphismes | 120 |
| Nombre chromatique | 4 |
| Indice chromatique | 5 |
| Propriétés | Arête-transitif Distance-régulier Hamiltonien Planaire Régulier Sommet-transitif Intégral |
modifier  |
|
Propriétés
modifierPropriétés générales
modifierIl existe cinq graphes correspondant aux squelettes des cinq solides de Platon. Le graphe icosaédrique est celui qui correspond à l'icosaèdre régulier. Les quatre autres sont le graphe tétraédrique, le graphe hexaédrique, le graphe octaédrique et le graphe dodécaédrique.
Le diamètre du graphe icosaédrique, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 5-sommet-connexe et d'un graphe 5-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 5 sommets ou de 5 arêtes.
Coloration
modifier
4-coloration des sommets du graphe.
5-coloration des arêtes du graphe.
Le nombre chromatique du graphe icosaédrique est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
L'indice chromatique du graphe icosaédrique est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe en fonction du nombre de couleurs autorisé. Cela donne une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifié de polynôme chromatique. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degré 12. Il est égal à : .
Chemins hamiltoniens
modifier
Un des 2560 cycles hamiltoniens.
Unique cycle hamiltonien sur l'icosaèdre régulier possédant une symétrie centrale, et une symétrie de rotation d'ordre 3.
Le graphe icosaédrique possède 2560 cycles hamiltoniens (passant une fois et une seule par chacun des douze sommets)[1]. Représenté sur l'icosaèdre régulier, il ne possède plus que 17 cycles hamiltoniens à isométrie près et un seul d'entre eux possède une symétrie centrale[2],[3],[4],[5].
Cela signifie qu'il existe exactement 17 façons de "peler" successivement les douze faces d'un dodécaèdre régulier (deux faces successives étant séparées par une arête) en un chemin fermé[2].
Propriétés algébriques
modifierLe groupe d'automorphismes du graphe icosaédrique est un groupe d'ordre 120.
Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe icosaédrique est : . Le graphe icosaédrique est donc un graphe intégral, un graphe dont le spectre est constitué d'entiers.
Voir aussi
modifierLiens internes
modifierLiens externes
modifierRéférences
modifier- ↑ Eric W. Weisstein, « Icosahedral graph », sur mathworld
- 1 2 André Sainte-Laguë, Avec des nombres et des lignes, Vuibert, 1937,1994 (lire en ligne
), chap. VI (« Peler un polyèdre »), p. 307, 320-322, 329-331 - ↑ (de) H. Heesch, Gesammelte Abhandlungen, Hildesheim, Franzbecker, (1re éd. 1951), p. 277
- ↑ (en) Felix Effenberger, Wolfgang Kühnel, « Hamiltonian submanifolds of regular polytopes », Discrete and Computational Geometry, , p. 5 (arXiv 0809.4168v2, lire en ligne)
- ↑ Alain Esculier, « Codage-décodage de cycles hamiltoniens d'un polyèdre régulier », sur aesculier.fr,
