Graphe rhombicosidodécaédrique

	Graphe rhombicosidodécaédrique
Nombre de sommets	60
Nombre d'arêtes	120
Distribution des degrés	4-régulier
Rayon	8
Diamètre	8
Maille	3
Automorphismes	120
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	4
Propriétés	Hamiltonien; Planaire; Régulier; Sommet-transitif
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Le graphe rhombicosidodécaédrique est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 60 sommets et 120 arêtes.

Construction

Il existe treize graphes correspondant aux squelettes des treize solides d'Archimède. Le graphe rhombicosidodécaédrique est celui associé au petit rhombicosidodécaèdre, un solide à 62 faces.

Les douze autres graphes squelettes d'Archimède sont le graphe tétraédrique tronqué, le graphe hexaédrique tronqué, le graphe octaédrique tronqué, le graphe dodécaédrique tronqué, le graphe icosaédrique tronqué, le graphe cuboctaédrique, le graphe cuboctaédrique adouci, le graphe icosidodécaédrique, le graphe dodécaédrique adouci, le graphe rhombicuboctaédrique, le graphe cuboctaédrique tronqué et le graphe icosidodécaédrique tronqué.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe rhombicosidodécaédrique, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 8 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

Coloration

Le nombre chromatique du graphe rhombicosidodécaédrique est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe rhombicosidodécaédrique est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe rhombicosidodécaédrique est un groupe d'ordre 120.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe rhombicosidodécaédrique est : $(x-4)(x-1)^{4}x^{6}(x+1)^{4}(x^{2}-5)^{4}(x^{2}-5x+5)^{3}(x^{2}+3x+1)^{8}(x^{3}-x^{2}-7x+4)^{5}$ .

Voir aussi