Groupe de Schützenberger

En algèbre générale, et notamment en théorie des demi-groupes, le groupe de Schützenberger est un groupe associé à une ${\mathcal {H}}$-classe, au sens des relations de Green d'un demi-groupe. Les groupes de Schützenberger de deux ${\mathcal {H}}$-classes d'une même ${\mathcal {D}}$-classe sont isomorphes. Si une ${\mathcal {H}}$-classe est un groupe, le groupe de Schützenberger de cette ${\mathcal {H}}$-classe est isomorphe à cette classe.

Il y a en fait deux groupes de Schützenberger associés à une ${\mathcal {H}}$-classe donnée; ils sont anti-isomorphes l'un de l'autre.

Les groupes de Schützenberger ont été décrits par Marcel-Paul Schützenberger en 1957. Ils ont été nommés ainsi dans le livre de Alfred H. Clifford et Gordon Preston.

Le groupe de Schützenberger

Soit $S$ un demi-groupe. On définit $S^{1}$ comme étant égal à $S$ si $S$ est un monoïde, sinon égal à $S\cup \{1\}$, où $1$ est un élément neutre ajouté, donc vérifiant $a1=1a=a$ pour tout $a$ de $S^{1}$.

La relation de Green ${\mathcal {H}}$ est définie comme suit. Soient $a$ et $b$ deux éléments de $S$. Alors

$a{\mathcal {H}}b$ si et seulement s'il existe $x,y,z,t$ dans $S^{1}$ tels que $xa=yb$ et $az=bt$.

La ${\mathcal {H}}$-classe d'un élément $a$ est notée $H(a)$. C'est l'ensemble des éléments $b$ de $S$ tels que $a{\mathcal {H}}b$.

Soit $H$ une ${\mathcal {H}}$-classe de $S$. Soit $T(H)$ l’ensemble des éléments $t$ de $S^{1}$ tels que $Ht$ est un sous-ensemble de $H$. Chaque $t$ de $T(H)$ définit une transformation, notée $\gamma _{t}:H\to H$ de $H$ dans lui-même qui envoie un élément $h$ sur $ht$ :

$\gamma _{t}:h\mapsto ht$.

L'ensemble $\Gamma (H)$ de ces transformations est en fait un groupe pour la composition des fonctions, considérées comme opérant à droite ($\gamma _{ts}=\gamma _{t}\circ \gamma _{s}$). C'est le groupe de Schützenberger associé à la ${\mathcal {H}}$-classe $H$. L'autre groupe de Schützenberger est le groupe des multiplications à droite $\delta _{t}:h\mapsto th$.

Exemples

Toute ${\mathcal {H}}$-classe $H$ a la même cardinalité que son groupe de Schützenberger $\Gamma (H)$. Si $H$ est un sous-groupe maximal d'un monoïde $M$, alors $H$ est une ${\mathcal {H}}$-classe et est canoniquement isomorphe à son groupe de Schützenberger.

Applications

Un certain nombre de propriétés algébriques des monoïdes se reflètent dans leur groupe de Schützenberger. Ainsi, un monoïde qui a un nombre fini d'idéaux à gauche et à droite est finiment présenté, ou simplement finiment engendré si et seulement si tous ses groupes de Schützenberger le sont.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schutzenberger group » (voir la liste des auteurs).