Groupe quasi-simple

En mathématiques, un groupe parfait G est un groupe quasi-simple si le groupe de ses automorphismes intérieurs est simple. En d'autres termes, s'il existe une suite exacte courte :

$1\to Z\left(G\right)\to G\to S\to 1$

où S est un groupe simple.

Exemples

• Les groupes simples non abéliens sont quasi-simples.
• Les recouvrements du groupe alterné $A_{n}$ sont quasi-simples mais non simples, pour $n\geq 5$.

Propriétés

• Les sous-groupes normaux propres d'un groupe quasi-simple sont contenus dans son centre.
• Tout endomorphisme non trivial d'un groupe fini quasi-simple est un automorphisme.

Groupes quasi-simples finis

La classification des groupes finis quasi-simples a été obtenue à partir de la classification des groupes finis simples et du calcul de leur multiplicateur de Schur. Leur intérêt tient en grande partie au fait que les sous-groupes sous-normaux quasi-simples d'un groupe fini non résoluble G jouent pour sa structure un rôle similaire à celui des sous-groupes normaux minimaux d'un groupe fini résoluble ; on les appelle composantes du groupe G. Les composantes de G commutent deux à deux et engendrent donc un sous-groupe E(G), qui est une extension centrale parfaite d'un produit de groupes simples. C'est le plus grand sous-groupe normal de G possédant cette structure. Lorsque G est résoluble, le sous-groupe de Fitting F(G) joue un rôle important dans la partie de la théorie des groupes finis appelée analyse locale. Lorsque G n'est pas résoluble, ce rôle est tenu par le groupe de Fitting généralisé, qui est le sous-groupe F*(G) = F(G)E(G). Le groupe F*(G) est le concept clé pour la théorie de la structure des groupes finis.

Voir aussi

Article connexe

Groupe presque simple

Bibliographie

• (en) Michael Aschbacher, Finite Group Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2000, 301 p. (ISBN 978-0521786751, lire en ligne)
• (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, coll. « GSM » (n^o 92), 2008, 305 p. (ISBN 978-0821843444, lire en ligne)
• (en) Radha Kessar et Gunter Malle, « Brauer's height zero conjecture for quasi-simple groups », J. Algebra, vol. 475,‎ 2017, p. 43-60 (lire en ligne)
• (en) Ronald Solomon, « A brief history of the classification of the finite simple groups », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 38,‎ 2001, p. 315-352 (lire en ligne)