Univers de von Neumann
En théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires »[note 1], tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée[note 2]. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.
Le rang d'un ensemble bien fondé est défini de façon récursive comme le plus petit nombre ordinal plus grand que les rangs de tous les membres de l'ensemble[1]. En particulier, le rang de l'ensemble vide est zéro, et chaque ordinal a un rang égal à lui-même. Les ensembles dans V se répartissent dans une hiérarchie transfinie Vα, appelée hiérarchie cumulative, en fonction de leur rang.
Définition
modifier![Un segment initial de l'univers de von Neumann. La multiplication des nombres ordinaux est écrite en sens inverse de la convention usuelle (voir Opérations arithmétiques sur les ordinaux).](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Von_Neumann_Hierarchy.svg/300px-Von_Neumann_Hierarchy.svg.png)
La hiérarchie cumulative est une collection d'ensembles Vα indexée par la classe des nombres ordinaux. En particulier, Vα est l'ensemble de tous les ensembles de rang inférieur à α. Il y a donc un ensemble Vα pour chaque nombre ordinal α. Vα peut être défini par récurrence transfinie ainsi :
- On définit V0 comme l'ensemble vide :
- .
- Étant donné un nombre ordinal β, on définit Vβ+1 comme l'ensemble des parties de Vβ :
- .
- Étant donné un ordinal limite λ, on définit Vλ comme l'union de toutes les étapes précédentes :
- .
Avec cette définition, il y a une seule formule φ(α,x) dans le langage de ZFC pour exprimer que « l'ensemble x appartient à Vα ».
Les ensembles Vα sont appelés étapes (stages en anglais). L'univers V dans son ensemble est défini comme l'union de toutes les étapes :
- .
Voici une représentation graphique des premières étapes finies V0 jusqu'à V4. Le carré vide représente l'ensemble vide, un carré contenant ce carré vide représente l'ensemble ne contenant que l'ensemble vide, et ainsi de suite :
![Les 5 premières étapes](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Von_Neumann_universe_4.png/750px-Von_Neumann_universe_4.png)
Une définition équivalente et plus compacte des étapes consiste à écrire :
pour chaque ordinal α[note 3], où est l'ensemble des parties de .
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Von Neumann universe » (voir la liste des auteurs).
Notes
modifier- En anglais: hereditary set (en), il s'agit d'ensembles exclusivement composés d'autres ensembles, ceux-ci étant à leur tour uniquement composés d'ensembles, et ainsi de suite.
- C'est-à-dire dont la clôture transitive comporte un élément minimal. Le but est d'éviter des récursions infinies comme on pourrait en avoir si l'on admettait qu'un ensemble puisse se contenir lui-même.
- Y compris les ordinaux non limite, puisque dans le cas des successeurs ordinaires, on a en fait aussi l'union des ensembles des parties des étapes précédentes.
Références
modifier- Mirimanoff 1917; Moore 2013, p. 261–262; Rubin 1967, p. 214.
- Dmitry Mirimanoff, « Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles », L'Enseignement mathématique, vol. 19, , p. 37 à 52
- (en) Gregory H Moore, Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence, Dover Publications, (1re éd. 1982) (ISBN 978-0-486-48841-7)
- (en) Jean E. Rubin, Set Theory for the Mathematician, San Francisco, Holden-Day, (ASIN B0006BQH7S, lire en ligne
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