Idéal principal

En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément.

Définition

Soit A un anneau.

• Un idéal à droite I est dit principal à droite s'il est égal à l'idéal à droite engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = aA := { ax | x ∈ A }.
• Un idéal à gauche I est dit principal à gauche s'il est égal à l'idéal à gauche engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = Aa := { xa | x ∈ A }.
• Un idéal bilatère I est dit principal s'il est égal à l'idéal bilatère engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = AaA := { x₁ay₁ + … + x_nay_n | n ∈ N, x₁, y₁, …, x_n, y_n ∈ A }.

Si A est commutatif, ces trois notions coïncident et l'idéal engendré par a est noté (a).

Contre-exemples

Pour un anneau intègre A contenant un élément a non nul et non inversible, l'idéal engendré par a et Y dans l'anneau de polynômes A[Y] n'est pas principal.

Un exemple d'une telle situation est A = l'anneau ℤ des entiers relatifs et a = un entier différent de 0, 1 et –1, ou encore, A = B[X] pour un anneau intègre B et a = X.

Anneau principal

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal.

Par exemple, ℤ et K[X] pour un corps commutatif K sont des anneaux principaux.

Idéaux principaux particuliers

Soient A un anneau commutatif intègre et a un élément non nul de A.

• (a) est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A si et seulement si a est irréductible ;
• (a) est premier si et seulement si a est premier ;
• (a) est maximal si et seulement si a est extrémal.

Si A est un anneau à PGCD, les deux premières propriétés sont équivalentes. S'il est de Bézout (en particulier s'il est principal), les trois le sont.