En mathématiques , et plus précisément en algèbre , l’identité des huit carrés de Degen montre que le produit de deux nombres, dont chacun est une somme de huit carrés, est lui-même une somme de huit carrés.
Si les ai et les bj sont des entiers, des nombres réels ou complexes, ou plus généralement des éléments d'un anneau commutatif , on a :
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
+
a
5
2
+
a
6
2
+
a
7
2
+
a
8
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
+
b
5
2
+
b
6
2
+
b
7
2
+
b
8
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=\,}
(
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
−
a
5
b
5
−
a
6
b
6
−
a
7
b
7
−
a
8
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
+
a
5
b
6
−
a
6
b
5
−
a
7
b
8
+
a
8
b
7
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7})^{2}+\,}
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
2
+
a
5
b
7
+
a
6
b
8
−
a
7
b
5
−
a
8
b
6
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6})^{2}+\,}
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
+
a
5
b
8
−
a
6
b
7
+
a
7
b
6
−
a
8
b
5
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5})^{2}+\,}
(
a
1
b
5
−
a
2
b
6
−
a
3
b
7
−
a
4
b
8
+
a
5
b
1
+
a
6
b
2
+
a
7
b
3
+
a
8
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4})^{2}+\,}
(
a
1
b
6
+
a
2
b
5
−
a
3
b
8
+
a
4
b
7
−
a
5
b
2
+
a
6
b
1
−
a
7
b
4
+
a
8
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3})^{2}+\,}
(
a
1
b
7
+
a
2
b
8
+
a
3
b
5
−
a
4
b
6
−
a
5
b
3
+
a
6
b
4
+
a
7
b
1
−
a
8
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
8
−
a
2
b
7
+
a
3
b
6
+
a
4
b
5
−
a
5
b
4
−
a
6
b
3
+
a
7
b
2
+
a
8
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1})^{2}\,}
Cette identité, découverte par Carl Ferdinand Degen (da) John Thomas Graves (en) [ 1] Arthur Cayley [ 1] quaternions , les octonions ; cette identité signifie, en effet, que la norme des octonions est multiplicative, c'est-à-dire que la norme du produit de deux octonions est égale au produit de leurs normes :
‖
u
v
‖
=
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle \|uv\|=\|u\|\|v\|}
identité des quatre carrés d'Euler ) et au module des nombres complexes (l'identité de Brahmagupta ). Cependant, en 1898, Adolf Hurwitz montra qu'on ne pouvait pas utiliser les sédénions pour généraliser encore ces formules, et en fait qu'il n'existait d'identité bilinéaire pour aucun autre nombre de carrés que 1, 2, 4 et 8 [ 1]
On remarquera que chaque quadrant se ramène à une variante de l'identité des quatre carrés d'Euler :
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,}
(
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\,}
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\,}
et
(
a
5
2
+
a
6
2
+
a
7
2
+
a
8
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
)
=
{\displaystyle (a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,}
(
a
5
b
1
+
a
6
b
2
+
a
7
b
3
+
a
8
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4})^{2}+\,}
(
a
5
b
2
−
a
6
b
1
+
a
7
b
4
−
a
8
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{5}b_{2}-a_{6}b_{1}+a_{7}b_{4}-a_{8}b_{3})^{2}+\,}
(
a
5
b
3
−
a
6
b
4
−
a
7
b
1
+
a
8
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{7}b_{1}+a_{8}b_{2})^{2}+\,}
(
a
5
b
4
+
a
6
b
3
−
a
7
b
2
−
a
8
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{5}b_{4}+a_{6}b_{3}-a_{7}b_{2}-a_{8}b_{1})^{2}\,}
et de même pour les deux autres quadrants.
↑ a b et c Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications , Calvage et Mounet, 2019 , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6 , I. Arithmétique de ℤ, chap. 4.3. (« Théorème (1, 2, 4, 8) de Hurwitz »), p. 67-70 
