Inégalité de Bernstein (probabilités)

inégalité en théorie des probabilités

L'inégalité de Bernstein est une inégalité de concentration démontrée par en 1926 par le mathématicien russe Sergueï Bernstein[1]. Cette inégalité se base sur un majoration de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire, d'une manière similaire aux inégalités de Hoeffding ou de Chernoff. Cette majoration se fait grâce à une hypothèse sur les moments de la variable aléatoire en question.

Énoncé Général

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L'énoncé le plus général de l'inégalité de Bernstein est donné ci-dessous[2]. Cet énoncé peut se simplifier dans certains cas particuliers.

Théorème — Soient , variables aléatoires indépendantes, de moyennes nulles et de variances respectives . S'il existe tel que pour tout , pour tout entier , , alors

.

Cas de variables aléatoires bornées

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Si les variables sont bornées alors, elles satisfont la condition des moments de l'inégalité de Bernstein.

Théorème — Soient , variables aléatoires indépendantes, de moyennes nulles, de variances respectives et telles qu'il existe tel que pour tout , avec probabilité 1. Alors,

.

.

Exemple: variables binaires

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Soient des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernouilli avec probabilité de succès . Alors, comme ces variables aléatoires sont bornées en valeur absolue par , on a

où dans ce cas, , puisque les ont tous la même variance.

Si l'on préfère obtenir l'inégalité de concentration pour la moyenne empirique des , il suffit de remarquer que . On peut donc simplement remplacer par dans l'expression précédente. On obtient, après simplification:

.

Voir aussi

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Notes et références

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  1. Ian Cook, A dictionary of statistics, Oxford University Press, (ISBN 978-0-19-954145-4, 0-19-954145-0 et 978-0-19-172686-6, OCLC 191929569, lire en ligne)
  2. Uspensky, J. V. (James Victor), 1883-1947., Introduction to mathematical probability, McGraw-Hill Book Company, Inc, (OCLC 996937, lire en ligne)