Inégalité de Borell

L'inégalité de Borell appelée également inégalité de Borell-Sudakov ou bien encore inégalité de Borell-TIS est une inégalité de concentration décrivant le comportement de la queue du supremum d'un processus gaussien indexé sur un ensemble. Elle peut être utilisée dans les preuves de résultats impliquant des processus gaussiens. Ce résultat est dû à Christer Borell[1] et a été découvert en parallèle par Boris Tsirelson (en), Ildar Ibragimov et Vladimir Sudakov.

Énoncé

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Soit un processus gaussien stochastique indexé par un espace semi-métrique . On suppose que ce processus est séparable, i.e. il existe un sous-ensemble dénombrable tel que presque-sûrement

.

On note le supremum et on suppose que le processus est centré, i.e. pour tout . On note le supremum de la variance du processus et la médiane de la variable . Plusieurs énoncés sont données dans la littérature mais sont quasiment les mêmes à quelques constantes près[2],[3] : pour tout ,

Références

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  1. (en) Christer Borell, « The Brunn-Minkowski inequality in Gauss space », Inventiones mathematicae, vol. 30, no 2,‎ , p. 207–216 (ISSN 0020-9910 et 1432-1297, DOI 10.1007/BF01425510, lire en ligne, consulté le )
  2. (en) Van Der Vaart et Jon A Wellner, Weak convergence and empirical processes, Springer series in statistics, p. 437-439
  3. (en) Michel Ledoux et Michel Talagrand, Probability in Banach space, p. 56-59