Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors
![{\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq (1-\theta )^{2}\,{\frac {\operatorname {E} (Z)^{2}}{\operatorname {E} (Z^{2})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45d19bd281f1ac0049d22a4ab97efccfea788bf)
Tout d'abord, on a :
![{\displaystyle \operatorname {E} (Z)=\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z<\theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace +\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74195b6535fca0a9e3716163c95a1e49e4f205b2)
Le premier terme de la somme est égal, au plus, à
. Le second terme est au plus égal à :
![{\displaystyle \lbrace \operatorname {E} (Z^{2})\rbrace ^{1/2}\lbrace \operatorname {E} \mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ^{1/2}={\Big (}\operatorname {E} (Z^{2}){\Big )}^{1/2}{\Big (}\Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace {\Big )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adad8b80043986fe500694fd7f4d2ffa01d1f347)
d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.
En réécrivant le membre de droite, l'inégalité de Paley-Zygmund se met sous la forme :
![{\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} (Z)^{2}}{\operatorname {E} (Z)^{2}+\operatorname {Var} (Z)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b799aa92b57d1a1e1b22643c1fe43f121e1effb)
L'Inégalité de Cauchy-Schwarz donne une meilleure minoration :
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z-\theta \operatorname {E} [Z]]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136f98458163cbc81ebbb980555cb941348340e8)
ce qui implique, après réarrangement,
![{\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]}}={\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bce3bc5bd01a6479c20603a21fd1daa8162c826)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Paley–Zygmund inequality » (voir la liste des auteurs).
- R.E.A.C.Paley et A.Zygmund, « A note on analytic functions in the unit circle », Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266-272.