Inégalités de Clarkson

En mathématiques, les inégalités de Clarkson, portant le nom de James A. Clarkson, sont des résultats concernant les espaces $L^{p}$. Elles permettent, pour deux fonctions dans $L^{p}$, de majorer la norme de leur somme et de leur différence par les normes de ces fonctions.

Elles servent à démontrer que l'espace $L^{p}$ est $p$-uniformément convexe lorsque $2\leq p<\infty$.

Énoncé

Soit $(X,\Sigma ,\mu )$ un espace mesurable, et soit $f,g\in L^{p}(X)$. Alors, pour $2\leq p<+\infty$,

$\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).$

Et pour $1<p\leq 2$,

$\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},$

où

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

Le cas $p\geq 2$ est le plus simple à prouver : c'est une application de l'inégalité triangulaire et de la convexité de

$x\mapsto x^{p}.$

Généralisations

Des extensions aux valeurs complexes ont été obtenues pour tous $0<p,q\leq +\infty$ (Maligranda 2007),

$\left(\left\|f+g\right\|_{L^{q}}^{q}+\left\|f-g\right\|_{L^{q}}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\leq C_{p,q}\left(\left\|f\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|g\right\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

avec

$C_{p,q}=\max(2^{1-{\frac {1}{p}}},2^{\frac {1}{q}},2^{{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}}).$

Voir aussi

• Identité du parallélogramme

Bibliographie

• James A. Clarkson, « Uniformly Convex Spaces », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 40, n^o 3,‎ décembre 1936, p. 396-414 (DOI 10.2307/1989630 , JSTOR 1989630, MR 1501880, lire en ligne, consulté le 2 octobre 2025).
• Olof Hanner, On the uniform convexity of L^p and ℓ^p, vol. 3, 1956, 239–244 p. (DOI 10.1007/BF02589410 , Bibcode 1956ArM.....3..239H, MR 0077087).
• K. O. Friedrichs, On Clarkson's inequalities, vol. 23, 1970, 603–607 p. (DOI 10.1002/cpa.3160230405, MR 0264372).
• Lech Maligranda et Natalia Sabourova, « On Clarkson's inequality in the real case », Mathematische Nachrichten, vol. 280, n^o 12,‎ 2007, p. 1363 - 1375 (DOI 10.1002/mana.200610552).