Inégalités maximales de Doob

En mathématiques, les inégalités maximales de Doob sont un résultat de l'étude des processus stochastiques. Elles donnent une limite à la probabilité qu'une sous-martingale dépasse une valeur donnée sur un intervalle de temps donné.

Enoncé

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Soit une martingale, est alors une sous-martingale positive. On se restreint désormais à ce cadre.

On note , l'inégalité maximale de Doob se formule :

D'autres résultats peuvent être dérivés pour les variables .

Démonstration

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Soit le temps d'arrêt

On décompose :

Puis :

Le théorème d'arrêt de Doob appliqué aux temps d'arrêts garantit

Finalement :

Références

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