Injection canonique
En mathématiques, pour B un ensemble et A une partie de B, l'injection canonique (ou inclusion canonique ou insertion[1]) de A dans B est l'application qui à x associe x[2].
Par exemple, lorsque A = B, l'injection canonique n'est autre que l'application identité de B.
Pour désigner l'injection canonique, on utilise parfois la flèche avec un crochet (U+21AA ↪ rightwards arrow with hook )[3] soit :
Cette fonction et toutes les fonctions injectives qui lui sont analogues[4] sont appelées injections naturelles.
Pour tout morphisme donné entre des objets et , s'il existe une injection canonique dans le domaine , alors on peut construire une restriction de Dans plusieurs cas, on peut aussi construire une injection canonique vers le codomaine , connu comme le rang de
Applications des inclusions canoniques
modifierLes inclusions canoniques ont tendance à être des homéomorphismes de structures algébriques ; ainsi, ces injection canoniques d'inclusion sont des plongements. Plus précisément, étant donné une sous-structure fermée sous certaines opérations, l'injection canonique sera un plongement pour des raisons tautologiques. Par exemple, pour une opération binaire telle que revient simplement à dire que est calculé de manière cohérente dans la sous-structure et dans la grande structure. Le cas d'une opération unaire est similaire, mais il faut également considérer les opérations nullaires, qui sélectionnent un élément « constant ». Ici, le point important est que la fermeture signifie que ces constantes doivent déjà être données dans la sous-structure.
Les applications d'inclusion sont observées en topologie algébrique où, si est une rétraction de forte déformation de l'application d'inclusion donne un isomorphisme entre tous les groupes d'homotopie (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une équivalence d'homotopie).
Les applications d'inclusion en géométrie peuvent être de différents types : par exemple, les plongements de sous-variétés. Les objets contravariants (c'est-à-dire les objets qui ont des pullback ; ceux-ci sont appelés covariants dans une terminologie plus ancienne et sans rapport) tels que les formes différentielles se « restreignent » aux sous-variétés, donnant une application dans l'« autre sens ». Un autre exemple, plus sophistiqué, est celui des schémas affines, pour lesquels les inclusions et peuvent être des morphismes différents, où est un anneau commutatif et est un idéal de
Références
modifierJean Marie Monier, Algèbre PCSI-PTSI, Dunod, , 4e éd., p. 21-22
- ↑ Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff et Jean Weil, Algèbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorèmes, théorie de Galois, J. Gabay, (ISBN 2-87647-138-8 et 978-2-87647-138-2, OCLC 490130463), p. 6
- ↑ S. MacLane et G. Birkhoff, Algebra, Providence, RI, AMS Chelsea Publishing, (ISBN 0-8218-1646-2), p. 5 :
« Note that “insertion” is a function A → B and "inclusion" a relation A ⊂ B; every inclusion relation gives rise to an insertion function. »
- ↑ (en) « Arrows – Unicode », Unicode Consortium (consulté le )
- ↑ (en) C. Chevalley, Fundamental Concepts of Algebra, New York, NY, Academic Press, (ISBN 0-12-172050-0, lire en ligne
), 1
