Intégrales à double opérateur
En analyse fonctionnelle, les intégrales à double opérateur (abrégé en IDO, en anglais Double Operator Integrals (DOI) ) sont des intégrales de la forme
où est un opérateur linéaire borné entre deux séparable espaces de Hilbert,
sont des measures spectrales, où représente l'ensemble des projections orthogonales sur , et est une fonction mesurable et scalaire et est appelle symbole de IDO. Les intégrales s'entendent ici sous la forme des intégrales de Stieltjes.
Les IDOs sont apparues pour la première fois en 1956 dans un article de Yuri L. Daletskii et Selim G. Krein, qui ont examiné deux endomorphismes autoadjoints et sur des espaces de Hilbert (où est la perturbation de est) et la dérivée pour certaines fonctions à valeur d'opérateur
sous la forme suivante
trouvé, où est la mesure spectrale de [1].
La théorie des intégrales à double opérateur a été principalement développée par Mikhail Schljomowitsch Birman et Mikhail Zakharovich Solomyak à la fin des années 1960 et 1970[2],[3].
L'IDO peut être utilisée pour représenter des normes de différences d'opérateurs
pour operator-lipschitzienne fonctionne et sont donc importantes dans la théorie des perturbations.
Intégrales à double opérateur
modifierLa définition de l'intégrale induit directement une autre application
qu'on appelle transformateur.
Il s'avère que la définition de tels IDOs ainsi que la classe de symboles autorisés dépendent du choix des espaces d'opérateurs considérés. Dans la considération originale de Birman-Solomyak, l'opérateur était limité à la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt . Cependant, la définition peut être étendue à d'autres classes de Schatten-von Neumann ou à des opérateurs restreints généraux tant que reste également borné.
Birman-Solomyak a maintenant défini la mesure de produit spectral suivante
pour les ensembles mesurables , où par par
pour les fonctions bornées et mesurables, peut être défini.
Exemple d'application de la théorie des perturbations
modifierOn considère un espace de Hilbert et deux opérateurs autoadjoints bornés sur . Soit maintenant et une fonction sur un ensemble qui a le spectres de contient. De plus, laissez être le transformateur et être l'opérateur d'identité. D'après le théorème spectral et apply et , il s'ensuit
Et ainsi
Bibliographie
modifier- (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 1, , p. 25-54
- (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals. II », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 2, , p. 19-46
- (en) Vladimir V. Peller, « Multiple operator integrals in perturbation theory », Bull. Math. Sci., vol. 6, , p. 15-88 (DOI 10.1007/s13373-015-0073-y)
- (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, Lectures on Double Operator Integrals, un mini-cours donné par les auteurs à l'Institut Mittag-Leffler
- (en) Alan Carey et Galina Levitina, « Double Operator Integrals », dans Index Theory Beyond the Fredholm Case, Cham, Springer, (DOI 10.1007/978-3-031-19436-8_2), p. 15-40.
Notes et références
modifier- (ru) Y.L.Daletskii et S.G. Krein, « Integration and differentiation of functions of Hermitian operators and application to the theory of perturbations », Trudy Sem. po Funktsion. Analizu, Université d'État de Voronej, vol. 1, , p. 81–105
- M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 1, , p. 25-54
- M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals. II », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 2, , p. 19-46