Intégrabilité

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

En mathématiques, dire qu'une fonction $f$ à valeurs dans $ℝ$ est intégrable est polysémique, mais cela signifie usuellement que $| f |$ (barres de valeur absolue) admet une intégrale, éventuellement généralisée. Toutefois, au sens strict, cela signifie simplement que $f$ vérifie cette condition. Dans cet article, on opte pour la première définition (avec valeurs absolues).

On étend naturellement la définition à l'ensemble d'arrivée $ℂ$ (en remplaçant la valeur absolue par le module), ou même à un espace vectoriel normé (en remplaçant la valeur absolue par la norme).

On peut rapprocher cette notion de celle de famille sommable ; la sommation étant remplacée par l'intégration^[1].

Intégration de Riemann

Articles détaillés : Intégrale de Riemann et Intégrale généralisée.

Dans cette partie, on travaille avec des intégrales au sens de Riemann, éventuellement généralisées. On appelle segment tout intervalle fermé et borné, par exemple $[- 1; 2]$ .

Soit $I$ un intervalle de $ℝ$ d'extrémités $a < b$ (éventuellement infinies). Soit $𝕂 \in {ℝ, ℂ}$ . Soit une fonction $f : I ⟶ 𝕂$ .

Définition

On dit que $f$ est intégrable si l'intégrale $\int | f |$ existe. Pour tout intervalle non vide $J \subset I$ , on dit que $f$ est intégrable sur $J$ si sa restriction à $J$ l'est.

De manière plus explicite, posons, pour tout $c \in I$ , $ϕ_{c} : I ⟶ ℝ, x \mapsto \int_{c}^{x} | f |$ , où on intègre sur des segments (ces intégrales ne sont pas généralisées). $f$ est intégrable s'il existe un $c \in I$ tel que $ϕ_{c}$ admette des limites finies en $a$ et en $b$ ^[a].

Il s'agit d'une définition polysémique ; on veillera à connaître les définitions des auteurs. Certains emploient plutôt « absolument convergente » pour dire que $\int | f |$ existe, ou emploient « intégrable » pour l'existence de $\int f$ , ou imposent en plus que $f$ soit continue par morceaux^[2]^,^[3].

Critères d'intégrabilité

Critères élémentaires

D'après les propriétés des intégrales généralisées, on a :

$f$ est intégrable si et seulement si elle l'est sur tout intervalle inclus dans $I$ .
$f$ est intégrable si et seulement si elle l'est sur $] a; b [$ .
Soit $c \in I$ . $f$ est intégrable si et seulement si elle l'est sur $] a; c]$ et sur $[c; b [$ .

Critère par bornage

Supposons que $f$ admette une intégrale sur tout segment inclus dans $I$ (par exemple que $f$ soit continue). Alors $f$ est intégrable si et seulement il existe un $c \in I$ tel que $ϕ_{c}$ soit bornée^[a].

Démonstration

La démonstration repose essentiellement sur le fait que les fonctions $ϕ_{c}$ sont continues et croissantes. La continuité découle des propriétés de l'intégrale de Riemann. La croissance découle du fait que les intégrandes sont $\geq 0$ .

Supposons dans un premier temps que I=[a;b[ avec a∈ℝ et b∈ℝ∪{+∞}.
- ( $⟹$ ) : $lim_{b} ϕ_{a}$ existe et est finie, donc il existe $η < b$ tel que $ϕ_{a}$ soit bornée sur $] η; b [$ . Par ailleurs, $ϕ_{a}$ étant continue, elle est aussi bornée sur $[a; η]$ d'après le théorème des bornes. Elle est donc bornée sur $I$ tout entier.
- ( $⟸$ ) : $ϕ_{c}$ est croissante. Elle est aussi bornée par hypothèse. Donc d'après le théorème de la limite monotone, la limite $lim_{b} ϕ_{c}$ existe et elle est finie. Quant à la limite $lim_{a} ϕ_{c}$ , elle existe et est finie par continuité.

Si $I =] a; b]$ avec $a \in ℝ \cup {- \infty}$ et $b \in ℝ$ , on adapte naturellement la preuve précédente.

Plaçons-nous maintenant dans le cas général.
- ( $⟹$ ) : Soit $c \in I$ . En se ramenant aux cas précédents avec les restrictions $f |_{] a, c]}$ et $f |_{[c, b [}$ , on a que $ϕ_{c} |_{] a, c]}$ et $ϕ_{c} |_{[c, b [}$ sont bornées. Donc $ϕ_{c} |_{] a, b [}$ est bornée. Donc $ϕ_{c}$ est bornée.
- ( $⟸$ ) : En se ramenant aux cas précédents avec les restrictions $ϕ_{c} |_{] a, c]}$ et $ϕ_{c} |_{[c, b [}$ (elles sont bornées), on a que $f |_{] a, c]}$ et $f |_{[c, b [}$ sont intégrables. D'après les critères élémentaires, $f$ est donc intégrable.

Propriétés

Soient $f, g : I ⟶ 𝕂$ .

Supposons que f admette une intégrale sur tout segment inclus dans I^[b].
- Si $g$ est intégrable et si $| f | \leq | g |$ , alors $f$ est intégrable.
- Si $f$ et $I$ sont bornés, $f$ est intégrable.

Si $I$ est un segment, l'existence de $\int f$ implique l'intégrabilité de $f$ ^[c].

Si $f, g$ sont intégrables, toute combinaison linéaire de $f$ et $g$ est intégrable^[d].

Si $𝕂 = ℂ$ , $f$ est intégrable si et seulement si $Re (f)$ et $Im (f)$ le sont^[e].

On notera que, contrairement au cas de l'intégrale sur un segment, il n'y a plus conservation du caractère « être intégrable » par produit^[f].

Dans le cas où $f$ est continue, on a les propriétés suivantes :

Si $f$ est intégrable, $\int f$ existe.
Si $I$ est un segment, l'existence de $\int f$ équivaut à l'intégrabilité de $f$ .
Si $\int | f | = 0$ , alors $f = 0$ ^[g].

Exemples

Pour α∈ℝ, la fonction f:]0,+∞[⟶ℝ,x↦xα est :
- si $α < - 1$ : non intégrable sur $] 0, 1]$ , intégrable sur $[1, + \infty [$ ;
- si $α = - 1$ : non intégrable sur $] 0, 1]$ , non intégrable sur $[1, + \infty [$ ;
- si $α > - 1$ : intégrable sur $] 0, 1]$ , non intégrable sur $[1, + \infty [$ ^[h].
La fonction $f : [1, + \infty [⟶ ℝ, x \mapsto \frac{\sin x}{x^{2}}$ est intégrable^[i]. Étant continue, elle admet donc aussi une intégrale (généralisée).
La fonction $f : [0, 1] ⟶ ℝ, x \mapsto {\begin{matrix} 1 & si x \in ℚ \\ - 1 & sinon \end{matrix}$ est intégrable mais n'admet pas d'intégrale^[j].
Inversement, la fonction $f :] 0, + \infty [⟶ ℝ, x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ admet une intégrale (généralisée) mais n'est pas intégrable^[k]. On dit dans ce cas que l'intégrale de $f$ est semi-convergente.

Intégration de Lebesgue

Articles détaillés : Intégrale de Lebesgue et Espace L¹.

Soient $(X, 𝒜, μ)$ un espace mesuré. Soit $f$ une fonction $𝒜$ -mesurable de $X$ dans $\overline{ℝ}$ (droite réelle achevée) ou $ℂ$ . On dit que $f$ est intégrable (au sens de Lebesgue) si :

\int_{X} | f (x) | d μ (x) < + \infty

Intégration de Kurzweil-Henstock

Article détaillé : Intégrale de Kurzweil-Henstock.

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Notes et références

Notes

1 2 On montre aisément (à l'aide de la relation de Chasles) que l'on peut en fait prendre n'importe quel $c$ .
↑ Les résultats qui suivent découlent facilement du critère par bornage.
↑ D'après la stabilité par composition continue ; la fonction module étant continue.
↑ Déjà, $λ f + μ g$ est intégrable sur tout segment, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $| λ f + μ g | \leq | λ | | f | + | μ | | g |$ .
↑ Pour le sens direct, remarquer déjà que $Re (f)$ et $Im (f)$ sont intégrables sur tout segment, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $| Re (f) |, | Im (f) | \leq | f |$ . Pour le sens indirect, remarquer que $f = Re (f) + i Im (f)$ et user de la stabilité par combinaisons linéaires.
↑ Par exemple, $f :] 0, 1] ⟶ ℝ, x \mapsto x^{- 1 / 2}$ est intégrable mais son carré non (cf. exemples).
↑ Pour illustrer l'importance de l'hypothèse de continuité, prendre $f$ nulle partout sauf en un point.
↑ Pour une preuve, voir ce lien.
↑ Elle est en effet continue, et, posant $g : [1, + \infty [⟶ ℝ, x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ (fonction intégrable), on a $| f | \leq | g |$ .
↑ L'intégrabilité est évidente. Pour montrer le second point, passer par les intégrales de Darboux en montrant que l'intégrale inférieure vaut -1 et la supérieure vaut 1.
↑ Pour une preuve, voir ce lien.

Références

↑ Xavier Gourdon, Les maths en tête Analyse, Ellipses, 2^e éd. (ISBN 9782729837594), p. 143-145
↑ « Programme officiel de MP »
↑ « Séries et intégrales absolument convergentes »

Articles connexes

Portail de l'analyse

[alpha1-2] 1 2 On montre aisément (à l'aide de la relation de Chasles) que l'on peut en fait prendre n'importe quel $c$ .

[5] Les résultats qui suivent découlent facilement du critère par bornage.

[6] D'après la stabilité par composition continue ; la fonction module étant continue.

[7] Déjà, $λ f + μ g$ est intégrable sur tout segment, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $| λ f + μ g | \leq | λ | | f | + | μ | | g |$ .

[8] Pour le sens direct, remarquer déjà que $Re (f)$ et $Im (f)$ sont intégrables sur tout segment, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que $| Re (f) |, | Im (f) | \leq | f |$ . Pour le sens indirect, remarquer que $f = Re (f) + i Im (f)$ et user de la stabilité par combinaisons linéaires.

[9] Par exemple, $f :] 0, 1] ⟶ ℝ, x \mapsto x^{- 1 / 2}$ est intégrable mais son carré non (cf. exemples).

[10] Pour illustrer l'importance de l'hypothèse de continuité, prendre $f$ nulle partout sauf en un point.

[11] Pour une preuve, voir ce lien.

[12] Elle est en effet continue, et, posant $g : [1, + \infty [⟶ ℝ, x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ (fonction intégrable), on a $| f | \leq | g |$ .

[13] L'intégrabilité est évidente. Pour montrer le second point, passer par les intégrales de Darboux en montrant que l'intégrale inférieure vaut -1 et la supérieure vaut 1.

[14] Pour une preuve, voir ce lien.

[gourdon-1] Xavier Gourdon, Les maths en tête Analyse, Ellipses, 2^e éd. (ISBN 9782729837594), p. 143-145

[3] « Programme officiel de MP »

[4] « Séries et intégrales absolument convergentes »

[1]

[a]

[2]

[3]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

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[j]

[k]