Intégrale de Volkenborn

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse p-adique, l’intégrale de Volkenborn est une méthode d'intégration des fonctions p-adique d'une variable p-adique. Sa construction est analogue à celle de l'intégrale de Riemann pour les fonctions complexes d'une variable réelle. L'intégrale de Volkenborn est ainsi définie comme une limite de sommes de Riemann, ce qui correspond intuitivement à définir une aire sous une courbe à l'aide de ses approximations successives par des aires rectangulaires de plus en plus fins.

Intuitivement, l'intégrale de Volkenborn est, comme celle de Riemann, la limite de sommes d'aires rectangulaires de plus en plus fines.

Cette intégrale tient son nom d'Arnt Volkenborn qui l'a définie dans sa thèse en 1971.

Définition

Soit $f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}$ une fonction définie sur les entiers p-adiques à valeurs p-adiques. L'intégrale de Volkenborn est définie par la limite, si elle existe, de sommes de Riemann, c'est-à-dire

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).$

Plus généralement, si

$R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ for }}r<n\right\}$

alors

$\int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).$

Exemples

Via la formule de Faulhaber, pour un entier $k$ quelconque,

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}$,

où $B_{k}$ est le $k$^e nombre de Bernoulli. En particulier,

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1$, $\int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}$ et $\int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}$.

L'intégrale de Volkenborn d'un coefficient binomial est donnée par

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}$.

Par développement en série de Taylor, puis par intégration terme à terme, les intégrales de fonctions exponentielles p-adiques vérifient

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}$,

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}$.

Le logarithme d'Iwasawa $\log _{p}$ est d'intégrale

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)$,

où $\psi _{p}$ est la fonction digamma p-adique.

Propriétés

L'intégrale de Volkenborn vérifie l'identité

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)$.

En particulier, cette intégrale n'est pas invariante par translation.

En notant $P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}$, on a :

$\int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x$.

Sources

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972,
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974,
• Henri Cohen, "Number Theory", Volume II, page 276

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Volkenborn integral » (voir la liste des auteurs).