Isomorphisme de Harish-Chandra
En mathématiques, l'isomorphisme de Harish-Chandra, défini par Harish-Chandra en 1951, est un isomorphisme d'anneaux commutatifs entre le centre de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie réductive et les éléments de l'algèbre symétrique d'une sous-algèbre de Cartan invariants sous l'action du groupe de Weyl .
Introduction
modifierSoient une algèbre de Lie semi-simple, sa sous-algèbre de Cartan et deux éléments de l'espace de poids (où est le dual de ). On fixe qu’un ensemble de racines positives . Soient et les modules de poids correspondant à et respectivement.
Caractères centraux
modifierLes -modules et sont des représentations de l'algèbre enveloppante universelle et son centre agit sur les modules par multiplication scalaire (cela découle du fait que les modules sont générés par un vecteur de poids le plus élevé). Donc pour et ,et de même pour . Les fonctions sont des caractères de dits caractères centraux.
Énoncé du théorème de Harish-Chandra
modifierPour tous , il y a égalité des caractères si et seulement si et sont dans la même orbite du groupe de Weyl , où est la demi-somme des racines positives, parfois appelée vecteur de Weyl[1].
Isomorphisme explicite
modifierPlus explicitement, l'isomorphisme peut être construit comme la composition de deux applications, l'une de à et un autre de dans lui-même.
La première est une projection . Pour un choix de racines positives , on définitles sous-algèbre nilpotente positive et sous-algèbre nilpotente négative respectivement, en raison du théorème de Poincaré – Birkhoff – Witt, il y a une décompositionSi est central, alors en faitLa restriction de la projection au centre est , et est un homomorphisme des algèbres. Ceci est lié aux caractères centraux parLa deuxième application est l'application de torsion définie sur par avec le vecteur de Weyl.
Alors est l'isomorphisme d'Harish-Chandra. La raison pour laquelle la torsion est introduite est que n'est pas réellement invariant de Weyl, mais on peut prouver que le caractère tordu l'est.
Applications
modifierLe théorème a été utilisé pour obtenir une preuve algébrique de la formule des caractères de Weyl pour les représentations irréductibles de dimension finie[2]. La preuve a été encore simplifiée par Victor Kac, de sorte que seul l'opérateur de Casimir est nécessaire.
Une conséquence simple est que pour les modules de Verma ou les modules Verma généralisés de poids , il n’existe qu’un nombre fini de poids pour lequel un morphisme non nul existe.
Invariants fondamentaux
modifierPour une algèbre de Lie simple, soit soit son rang, c'est-à-dire la dimension de toute sous-algèbre de Cartan de . H. S. M. Coxeter a observé que est isomorphe à une algèbre de polynômes en variables (voir le théorème de Chevalley-Shephard-Todd pour un énoncé plus général). Par conséquent, le centre de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie simple est isomorphe à une algèbre de polynômes. Les degrés des générateurs de l'algèbre sont les degrés des invariants fondamentaux donnés dans le tableau suivant.
Algèbre de Lie | Nombre de Coxeter h | Nombre de Coxeter dual | Degré des invariants fondamentaux |
---|---|---|---|
R | 0 | 0 | 1 |
An | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4,... , n + 1 |
Bn | 2n | 2n − 1 | 2, 4, 6, ... , 2n |
Cn | 2n | n + 1 | 2, 4, 6, ... , 2n |
Dn | 2n − 2 | 2n − 2 | n ; 2, 4, 6, ... , 2n − 2 |
E6 | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 |
E7 | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |
E8 | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |
F4 | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 |
G2 | 6 | 4 | 2, 6 |
Le nombre d’invariants fondamentaux d’un groupe de Lie est égal à son rang. Les invariants fondamentaux sont également liés à l'anneau de cohomologie d'un groupe de Lie. En particulier, si les invariants fondamentaux ont des degrés , alors les générateurs de l'anneau de cohomologie ont des degrés . De ce fait, les degrés des invariants fondamentaux peuvent être calculés à partir des nombres de Betti du groupe de Lie et vice versa. Dans une autre direction, les invariants fondamentaux sont liés à la cohomologie de l'espace de classification. L'anneau de cohomologie est isomorphe à une algèbre polynomiale sur des générateurs à degrés [3].
Exemples
modifier- Si est l'algèbre de Lie , alors le centre de l'algèbre enveloppante universelle est généré par l'invariant de Casimir de degré 2, et le groupe de Weyl agit sur la sous-algèbre de Cartan, qui est isomorphe à . Donc l'invariant du groupe de Weyl est le carré du générateur de la sous-algèbre de Cartan, qui est également de degré 2.
- Pour , l'isomorphisme de Harish-Chandra dit que est isomorphe à une algèbre polynomiale de polynômes invariants de Weyl à deux variables (puisque la sous-algèbre de Cartan est deux dimensionnel). Pour , le groupe de Weyl est qui agit sur la sous-algèbre de Cartan. Le groupe de Weyl agit par réflexions, ce sont donc des isométries et donc le polynôme de degré 2 est un invariant de Weyl. Une ébauche du polynôme invariant de Weyl de degré 3 (pour un choix particulier de représentation standard où l'une des réflexions se trouve sur l'axe des x) est présentée ci-dessous. Ces deux polynômes génèrent l'algèbre polynomiale et sont les invariants fondamentaux de .
- Pour toutes les algèbres de Lie de la classification, il existe un invariant fondamental de degré 2, l'opérateur de Casimir. À travers l'isomorphisme, celui-ci correspondent à un polynôme de degré 2 sur la sous-algèbre de Cartan. Le polynôme invariant estoù r est la dimension de , le rang de l'algèbre de Lie.
- Pour , la sous-algèbre de Cartan est unidimensionnelle, et l'isomorphisme de Harish-Chandra montre que est isomorphe à l'algèbre des polynômes invariants de Weyl en une seule variable . Le groupe de Weyl est agissant par réflexion, avec un élément non trivial agissant sur les polynômes par . La sous-algèbre des polynômes invariants de Weyl dans l'algèbre polynomiale complète est constituée des polynômes pairs, générés par .
Généralisation aux algèbres de Lie affines
modifierLe résultat ci-dessus est valable pour les algèbres de Lie réductives, et en particulier semi-simples. Il existe une généralisation aux algèbres de Lie affines montrée par Feigin et Frenkel montrant qu'une algèbre connue sous le nom de centre Feigin-Frenkel est isomorphe à une algèbre W associée à l'algèbre de Lie duale de Langlands [4] ,[5].
Notes
modifier- Humphreys 1978, p. 130.
- Humphreys 1978, p. 135–141.
- Borel, « Sur la cohomologie des espaces homogenes des groupes de Lie compacts », American Journal of Mathematics, vol. 76, no 2, , p. 273–342
- Molev, « On Segal–Sugawara vectors and Casimir elements for classical Lie algebras », Letters in Mathematical Physics, vol. 111, no 8, (DOI 10.1007/s11005-020-01344-3, arXiv 2008.05256, S2CID 254795180)
- Feigin, Frenkel et Reshetikhin, « Gaudin Model, Bethe Ansatz and Critical Level », Commun. Math. Phys., vol. 166, , p. 27–62 (DOI 10.1007/BF02099300, arXiv hep-th/9402022, S2CID 17099900)
Ressources externes
modifierRéférences
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harish-Chandra isomorphism » (voir la liste des auteurs).
- Harish-Chandra, On some applications of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra, vol. 70, , 28–96 p. (DOI 10.2307/1990524
, JSTOR 1990524, MR 0044515)
- James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, vol. 9, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », (ISBN 0-387-90053-5, MR 0499562) (Contains an improved proof of Weyl's character formula.)
- James E. Humphreys, Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O, AMS, (ISBN 978-0-8218-4678-0), p. 26
- Anthony W. Knapp et David A. Vogan, Cohomological induction and unitary representations, vol. 45, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series », (ISBN 978-0-691-03756-1, MR 1330919)
- Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, vol. 140, Springer, coll. « Progress in Mathematics », (1re éd. 1996), 246–258 p. (ISBN 978-1-4757-2453-0), « V. Finite Dimensional Representations §5. Harish-Chandra Isomorphism »