En théorie des probabilités et en statistique , la loi de Kumaraswamy ou loi de Kumaraswamy doublement bornée est une loi de probabilité continue dont le support est
[
0
,
1
]
{\displaystyle \scriptstyle [0,1]}
et dépendant de deux paramètres de forme
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
.
Loi de Kumaraswamy
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
a
>
0
{\displaystyle a>0\,}
b
>
0
{\displaystyle b>0\,}
Support
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]\,}
Densité de probabilité
a
b
x
a
−
1
(
1
−
x
a
)
b
−
1
{\displaystyle abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}\,}
Fonction de répartition
[
1
−
(
1
−
x
a
)
b
]
{\displaystyle [1-(1-x^{a})^{b}]\,}
Espérance
b
Γ
(
1
+
1
a
)
Γ
(
b
)
Γ
(
1
+
1
a
+
b
)
{\displaystyle {\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,}
Médiane
(
1
−
2
−
1
/
b
)
1
/
a
{\displaystyle \left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}}
Mode
(
a
−
1
a
b
−
1
)
1
/
a
{\displaystyle \left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}}
pour
a
≥
1
,
b
≥
1
,
(
a
,
b
)
≠
(
1
,
1
)
{\displaystyle a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)}
modifier
Elle est similaire à la loi bêta , mais sa simplicité en fait une loi utilisée spécialement pour les simulations grâce à la forme simple de la densité de probabilité et de la fonction de répartition . Cette loi a été initialement proposée par Poondi Kumaraswamy (en) pour des variables minorées et majorées.
La densité de probabilité de la loi de Kumaraswamy est :
f
(
x
;
a
,
b
)
=
{
a
b
x
a
−
1
(
1
−
x
a
)
b
−
1
pour
x
∈
[
0
,
1
]
0
sinon.
{\displaystyle f(x;a,b)={\begin{cases}abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1}&{\hbox{pour }}x\in [0,1]\\0&{\text{sinon. }}\end{cases}}}
La fonction de répartition de la loi de Kumaraswamy est :
F
(
x
;
a
,
b
)
=
{
1
−
(
1
−
x
a
)
b
pour
x
∈
[
0
,
1
]
0
sinon
.
{\displaystyle F(x;a,b)={\begin{cases}1-(1-x^{a})^{b}&{\hbox{pour }}x\in [0,1]\\0&{\text{sinon}}.\end{cases}}}
Généralisation sur un intervalle quelconque
modifier
Dans sa forme simple, la loi a pour support [0,1]. Dans une forme plus générale, la variable normalisée
x
{\displaystyle x}
est remplacée par la variable
z
{\displaystyle z}
non normalisée définie par :
x
=
z
−
z
min
z
max
−
z
min
,
z
min
≤
z
≤
z
max
.
{\displaystyle x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!}
Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par
m
n
=
E
(
X
n
)
=
b
Γ
(
1
+
n
a
)
Γ
(
b
)
Γ
(
1
+
b
+
n
a
)
=
b
B
(
1
+
n
a
,
b
)
{\displaystyle m_{n}=\mathbb {E} (X^{n})={\frac {b\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{a}}\right)\Gamma (b)}{\Gamma \left(1+b+{\tfrac {n}{a}}\right)}}=b\mathrm {B} \left(1+{\frac {n}{a}},b\right)\,}
où Γ est la fonction gamma et Β est la fonction bêta . La variance , l'asymétrie et le kurtosis peuvent être calculés à partir de ces moments ; par exemple, la variance est donnée par :
σ
2
=
m
2
−
m
1
2
.
{\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}
La loi de Kumaraswamy possède des relations étroites avec la loi bêta . On considère
X
a
,
b
{\displaystyle X_{a,b}}
est une variable aléatoire de la loi de Kumaraswamy avec les paramètres a et b . Alors
X
a
,
b
{\displaystyle X_{a,b}}
est la racine a -ième d'une variable aléatoire de loi bêta.
Plus formellement, notons
Y
1
,
b
{\displaystyle Y_{1,b}}
est une variable aléatoire de loi bêta avec pour paramètres
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
et
β
=
b
{\displaystyle \beta =b}
. il existe alors une relation entre
X
a
,
b
{\displaystyle X_{a,b}}
et
Y
1
,
b
{\displaystyle Y_{1,b}}
:
X
a
,
b
=
Y
1
,
b
1
/
a
,
{\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}
dont l'égalité est une égalité entre lois, c'est-à-dire :
P
(
X
a
,
b
≤
x
)
=
∫
0
x
a
b
t
a
−
1
(
1
−
t
a
)
b
−
1
d
t
=
∫
0
x
a
b
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
=
P
(
Y
1
,
b
≤
x
a
)
=
P
(
Y
1
,
b
1
/
a
≤
x
)
.
{\displaystyle \mathbb {P} (X_{a,b}\leq x)=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\mathbb {P} (Y_{1,b}\leq x^{a})=\mathbb {P} (Y_{1,b}^{1/a}\leq x).}
On peut alors introduire des lois de Kumaraswamy en considérant des variables aléatoires de la forme
Y
α
,
β
1
/
γ
{\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}
, avec
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
et où
Y
α
,
β
{\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}
est une variable aléatoire de loi bêta avec paramètres
α
{\displaystyle \alpha }
et
β
{\displaystyle \beta }
. Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par :
m
n
=
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
+
n
/
γ
)
Γ
(
α
)
Γ
(
α
+
β
+
n
/
γ
)
.
{\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}
Il est à remarquer que l'on peut obtenir les moments originaux en posant
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
,
β
=
b
{\displaystyle \beta =b}
et
γ
=
a
{\displaystyle \gamma =a}
. La fonction de répartition n'a cependant pas une forme simple.
Si
X
∼
Kumaraswamy
(
1
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}
alors
X
∼
U
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}(0,1)\,}
Si
X
∼
U
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim U(0,1)\,}
(loi uniforme continue ) alors
(
1
−
(
1
−
X
)
1
b
)
1
a
∼
Kumaraswamy
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\left(1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}
Si
X
∼
Beta
(
1
,
b
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}
(loi bêta ) alors
X
∼
Kumaraswamy
(
1
,
b
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}
Si
X
∼
Beta
(
a
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}
(loi bêta ) alors
X
∼
Kumaraswamy
(
a
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}
Si
X
∼
Kumaraswamy
(
a
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}
alors
(
1
−
X
)
∼
Kumaraswamy
(
1
,
a
)
{\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}
Si
X
∼
Kumaraswamy
(
1
,
a
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}
alors
(
1
−
X
)
∼
Kumaraswamy
(
a
,
1
)
{\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}
Si
X
∼
Kumaraswamy
(
a
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}
alors
−
ln
(
X
)
∼
E
(
a
)
{\displaystyle -\ln(X)\sim {\mathcal {E}}(a)\,}
, où
E
(
λ
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )\,}
désigne la loi exponentielle de paramètre λ.
Si
X
∼
Kumaraswamy
(
1
,
b
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}
alors
−
ln
(
1
−
X
)
∼
E
(
b
)
.
{\displaystyle -\ln(1-X)\sim {\mathcal {E}}(b)\,.}
(en) Kumaraswamy, P., « A generalized probability density function for double-bounded random processes », Journal of Hydrology , vol. 46, nos 1-2, 1980 , p. 79–88 (DOI 10.1016/0022-1694(80)90036-0 )
(en) Fletcher, S.G., and Ponnambalam, K., « Estimation of reservoir yield and storage distribution using moments analysis », Journal of Hydrology , vol. 182, nos 1-4, 1996 , p. 259–275 (DOI 10.1016/0022-1694(95)02946-X )