Loi arc sinus

En théorie des probabilités, les lois arc sinus sont un ensemble de lois de probabilité à densité dont le support est un intervalle compact. Elles sont un cas particulier de la loi bêta.

Loi arc sinus
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	aucun
Support	$x\in [0,1]$
Densité de probabilité	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$
Fonction de répartition	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)$
Espérance	${\frac {1}{2}}$
Médiane	${\frac {1}{2}}$
Mode	$x\in {]0,1[}$
Variance	${\tfrac {1}{8}}$
Asymétrie	$0$
Kurtosis normalisé	$-{\tfrac {3}{2}}$
Fonction génératrice des moments	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
Fonction caractéristique	${}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)\$

La loi arc sinus apparait dans la loi arc sinus de Lévy (en), celle d'Erdős (en), et la loi a priori de Jeffreys (en) pour la probabilité de succès d'une épreuve de Bernoulli. Cette loi apparait dans plusieurs théorèmes fondamentaux sur la marche aléatoire. Dans un jeu de pile ou face équilibré, la probabilité de revenir à un score égal suit une loi arc sinus. Dans un jeu de pile ou face équilibré à deux joueurs, un joueur mène la partie si la marche aléatoire (partie de l'origine) est au-dessus de l'origine. Le nombre le plus probable de moments où un joueur mène la partie, dans un jeu à 2N tirages, n'est pas N, qui est paradoxalement le nombre le moins probable, mais 0 ou 2N (selon la loi arc sinus).

Loi standard

Une variable aléatoire X suit la loi arc sinus standard si sa fonction de répartition est donnée par :

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}},\forall {x}\in [0;1]$

pour 0 ≤ x ≤ 1, et dont la densité de probabilité est donnée par :

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$

sur ]0 ; 1[. La loi arc sinus standard est un cas particulier de la loi bêta avec les paramètres α = β = 1/2. Ainsi, si X est de loi arc sinus standard alors $X\sim {\rm {Beta}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}).$

Généralisation

Loi arc sinus – support borné
Paramètres	$-\infty <a<b<\infty \,$
Support	$x\in [a,b]$
Densité de probabilité	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$
Fonction de répartition	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$
Espérance	${\frac {a+b}{2}}$
Médiane	${\frac {a+b}{2}}$
Mode	$x\in {]a,b[}$
Variance	${\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}$
Asymétrie	$0$
Kurtosis normalisé	$-{\tfrac {3}{2}}$

Support borné arbitraire

La loi peut être étendu à tout support borné [a ; b] par une simple transformation de la fonction de répartition

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$

pour a ≤ x ≤ b, la densité de probabilité est ainsi

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$

sur ]a ; b[. Cette loi est notée arcsinus(a,b).

Paramètre de forme

La loi arc sinus standard généralisée sur ]0 ; 1[. avec pour densité de probabilité

$f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}$

est également un cas spécial de la loi bêta de paramètres ${\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )$. Le paramètre α est appelé paramètre de forme. Lorsque α = 1/2, cette loi est la loi arc sinus standard.

Propriétés

• La loi arc sinus est stable par translation et par multiplication par un facteur positif :
  • Si $X\sim {\operatorname {arcsinus} }(a,b)\ {\text{alors }}kX+c\sim {\operatorname {arcsinus} }(ak+c,bk+c)$.
• La loi arc sinus sur ]–1 ; 1[ mise au carré est la loi arc sinus sur ]0 ; 1[ :
  • Si $X\sim {\operatorname {arcsinus} }(-1,1)\ {\text{alors }}X^{2}\sim {\operatorname {arcsinus} }(0,1)$.

Relations avec d'autres lois

• Si U et V sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme continue sur ]–π ; π[, alors sin(U), sin(2U), –cos(2U), sin(U + V), et sin(U – V) suivent toutes la loi arc sinus sur ]–1 ; 1[.
• Si X est de loi arc sinus généralisée de paramètre de forme α et avec pour support l'intervalle fini [a ; b], alors ${\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\$.

Loi limite du dernier retour à l'origine

On considère la marche aléatoire (S_n) définie comme la valeur atteinte après n lancers d'une pièce de monnaie équilibrée (pile = +1, face = -1). T_n est la variable aléatoire définie comme le dernier instant où S a atteint 0 sur [0 , 2n] :

$T_{n}=\max\{0\leq k\leq 2n,S_{k}=0\}$

Alors la variable aléatoire T_n/S_2n converge en loi vers la loi arc sinus.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arcsine distribution » (voir la liste des auteurs).