Loi de Fréchet
En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Fréchet est un cas particulier de loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Gumbel ou la loi de Weibull.
Loi de Fréchet | |
![]() Densité de probabilité | |
![]() Fonction de répartition | |
Paramètres | paramètre de forme. (deux paramètres optionnels) paramètre d'échelle (par défaut : ) paramètre de position du minimum (par défaut : ) |
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Support | |
Densité de probabilité | |
Fonction de répartition | |
Espérance | |
Médiane | |
Mode | |
Variance | |
Asymétrie | voir l'article |
Kurtosis normalisé | voir l'article |
Entropie | , où est la constante d'Euler-Mascheroni. |
Fonction génératrice des moments | le k-ième moment existe[1] si |
Fonction caractéristique | voir Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)[1] |
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Le nom de cette loi est dû à Maurice Fréchet, auteur d'un article à ce sujet en 1927. Des travaux ultérieurs ont été réalisés par Ronald Aylmer Fisher et L. H. C. Tippett en 1928 et par Emil Julius Gumbel en 1958.
Définition
modifierSa fonction de répartition est donnée par :
où est un paramètre de forme. Cette loi peut être généralisée en introduisant un paramètre de position m du minimum et un paramètre d'échelle s>0. La fonction de répartition est alors :
Propriétés
modifierMoments
modifierLa loi de Fréchet de paramètre a des moments standards :
- ,
(avec ) définis pour :
où est la fonction Gamma.
En particulier :
Quantiles
modifierLe quantile d'ordre peut être exprimé grâce à l'inverse de la fonction de répartition :
- .
En particulier la médiane est :
- .
Le mode de la loi de Fréchet est .
Pour la loi de Fréchet à trois paramètres, le premier quartile est et le troisième quartile est .
Asymétrie et kurtosis
modifierL'asymétrie de la loi de Fréchet est :
le kurtosis est :
Applications
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/FitFrechetDistr.tif/lossy-page1-220px-FitFrechetDistr.tif.jpg)
En hydrologie, la loi de Fréchet s'utilise pour des évènements extrêmes tels que le maximum annuel des précipitations journalières ou le débit des rivières[2]. La figure bleue illustre un exemple applicable de loi de Fréchet du maximum annuel des précipitations journalières en Oman, montrant également la bande de confiance de 90 % basée sur la loi binomiale.
Liens avec d'autres lois
modifier- Si (loi uniforme continue) alors
- Si alors
- Si et alors
- Si (loi de Weibull) alors
Notes et références
modifier- (en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares et Cláudia Lucas, chap. 14 « Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV) », dans Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides, Nova Science Publishers, (ISBN 978-1-61728-655-1), p. 269-276/
- (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Londres, Springer-Verlag, , 2e éd., 208 p. (ISBN 978-1-85233-459-8, lire en ligne).
Voir aussi
modifierBibliographie
modifier- M. Fréchet, « Sur la loi de probabilité de l'écart maximum », Ann. Soc. Polon. Math., vol. 6, no 3, 1927
- (en) R. A. Fisher et L. H. C. Tippett, « Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 24, 1928, p. 180-190
- (en) E. J. Gumbel, Statistics of Extremes, Columbia University Press, New York, 1958
- (en) S. Kotz et S. Nadarajah, Extreme Value Distributions: Theory and Applications, World Scientific, 2000 (ISBN 1860942245)