Loi de Wishart inverse
En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart inverse, également appelée loi de Wishart inversée, est une loi de probabilité définie sur l'ensemble des matrices définies positives à coefficients réels.
Loi de Wishart inverse | |
Paramètres | Degré de liberté paramètre d'échelle inverse ( matrice définie positive) |
---|---|
Support | l'ensemble des matrices définies positives |
Densité de probabilité |
où est la fonction gamma multidimensionnelle et est la fonction trace |
Espérance | |
Mode | [1] |
Variance | voir l'article |
modifier |
Une variable qui suit une loi de Wishart inverse sera notée et est définie par la loi de sa matrice inverse : suit une loi de Wishart .
Densité modifier
La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :
où et sont des matrices définies positives et est la fonction gamma multidimensionnelle.
Théorèmes modifier
Loi de l'inverse d'une matrice de loi de Wishart modifier
Si et est une matrice , alors est de loi de Wishart inverse : [2].
Lois marginales et conditionnelles modifier
Supposons que est de loi de Wishart inverse. Séparons convenablement en deux matrices et :
où et sont des matrices , alors on obtient
- est indépendant de et de , où est le complément de Schur de dans ;
- ;
- , où est la loi normale multidimensionnelle;
Moments modifier
Cette section est basée sur l'article [Press, 1982][3], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.
La moyenne est[2] :
La variance de chaque élément de est :
a variance de la diagonale utile la même formule que ci-dessus avec , ce qui se simplifie en :
Liens avec d'autres lois modifier
Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec , c'est-à-dire unidimensionnel, , et , la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient
c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où est la fonction gamma classique.
La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.
Références modifier
- A. O'Hagan, and J. J. Forster, Kendall's Advanced Theory of Statistics : Bayesian Inference, vol. 2B, Arnold, , 2e éd. (ISBN 0-340-80752-0)
- Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby, Multivariate Analysis, Academic Press, (ISBN 0-12-471250-9)
- (en) S.J. Press, Applied Multivariate Analysis, New York, Dover Publications,