Loi log-gamma

La loi log-gamma sur l'intervalle [0,1] est une loi de probabilité continue à deux paramètres réels a et b supérieurs à 1. Elle est définie sur l'intervalle fermé [0,1] et peut être obtenue par transformation logarithmique d'une variable suivant une loi gamma.

Loi log-gamma
Support	x ∈ (0,1)

Elle constitue un cas particulier de transformations exponentielles de variables gamma, et intervient naturellement dans l'étude des produits de variables aléatoires uniformes.

Définition

Une variable aléatoire X suit une loi log-gamma sur son support si sa densité est donnée par :

$f(x;a,b)={\frac {a^{b}}{\Gamma (b)}}x^{a-1}(-\ln x)^{b-1},\qquad x\in [0,1],\quad a\geq 1,\ b\geq 1.$

où $\Gamma$ désigne la fonction gamma d'Euler.

Condition de normalisation

On a :

$\int _{0}^{1}x^{a-1}(-\ln x)^{b-1}\,dx={\frac {\Gamma (b)}{a^{b}}},$

ce qui assure que la fonction ci-dessus est une densité de probabilité pour a >= 1 et b >= 1.

Lien avec la loi gamma

Si : $Y=-\ln X,$

alors la variable Y suit une loi gamma de paramètre de forme b et de taux a :

$Y\sim \Gamma (b,a).$

Réciproquement : $X=e^{-Y}.$

Fonction de répartition

La fonction de répartition s'écrit :

$F(x)={\frac {\Gamma (b,-a\ln x)}{\Gamma (b)}},\quad 0<x<1,$

où $\Gamma (b,z)$ est la fonction Gamma incomplète.

Moments

Pour tout réel r >= 0, le moment d'ordre r est :

$\mathbb {E} (X^{r})=\left({\frac {a}{a+r}}\right)^{b}.$

$\mathrm {Var} (X)=\left({\frac {a}{a+2}}\right)^{b}-\left({\frac {a}{a+1}}\right)^{2b}.$

Moments du logarithme

En posant L = ln X, on obtient :

$\mathbb {E} (L)=-{\frac {b}{a}},\qquad \mathrm {Var} (L)={\frac {b}{a^{2}}}.$

Les cumulants de L sont donnés par :

$\kappa _{n}(L)=(-1)^{n}{\frac {(n-1)!\,b}{a^{n}}}.$

Coefficients de forme

Les coefficients de skewness et d'excès de kurtosis de L = ln X sont :

$\gamma _{1}=-{\frac {2}{\sqrt {b}}},\qquad \gamma _{2}={\frac {6}{b}}.$

Représentation probabiliste

Si U₁,…,U_b sont indépendantes et uniformes sur (0,1), alors pour b ∈ ℕ :

$X=\prod _{k=1}^{b}U_{k}^{1/a}.$

Simulation

Une variable de loi log-gamma peut être simulée par :

1. génération de Y ~ Γ(b,a),
2. transformation X = e^{-Y}.

Cas particuliers

• b = 1 : loi puissance $f(x)=ax^{a-1}$
• a = 1 : densité log-uniforme généralisée
• a = b = 1 : loi uniforme sur (0,1)

Transformée de Mellin

${\mathcal {M}}_{X}(s)=\mathbb {E} (X^{s-1})=\left({\frac {a}{a+s-1}}\right)^{b}.$

Prolongements analytiques

L'expression reste définie pour tout b ∉ {0,-1,-2,…} via le prolongement analytique de la fonction Gamma, mais l'interprétation probabiliste impose a > 0 et b > 0.

Voir aussi

Bibliographie

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, Gamma Function
• Johnson, Kotz, Balakrishnan — Continuous Univariate Distributions
• Stacy, E. W. (1962), “A Generalization of the Gamma Distribution”
• Mathai, A. M. & Haubold, H. J. — Special Functions for Applied Scientists
• Springer – Gamma-related distributions
• Bobée, B. et Boucher, P., « Calcul de la variance d'un événement de période de retour T : cas des lois Log-Pearson type 3 et Log-Gamma ajustées par la méthode des moments sur la série des valeurs observées », INRS-Eau, Québec, n^o 1360,‎ février 1981 (lire en ligne, consulté le 14 juin 2026)

Articles connexes

• Loi gamma
• Loi exponentielle
• Transformation logarithmique
• Transformation de Mellin
• Produit de variables aléatoires