Loi normale repliée

	Loi normale repliée
	; Densité de probabilité ; μ=1,σ=1
	; Fonction de répartition; μ=1,σ=1
Paramètres	μ∈ℝ — (paramètre de forme); σ>0 — (paramètre d'échelle)
Support	x∈[0,∞[
Densité de probabilité	(voir l'article)
Fonction de répartition	(voir l'article)
Espérance	(voir l'article)
Variance	(voir l'article)
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme^[1]) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons $X$ une variable aléatoire de loi normale avec moyenne $μ$ et variance $σ^{2}$ , alors la variable aléatoire $Y = | X |$ est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe.

Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.

Caractérisations

Fonction de densité

La densité de probabilité est donnée par :

f_{Y} (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{(- x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) + \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) & pour x \geq 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Fonction de répartition

La fonction de répartition est donnée par :

F_{Y} (y) = {\begin{matrix} \int_{0}^{y} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} [\exp (- \frac{(- x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) + \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})] d x . & pour y \geq 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}

En utilisant le changement de variable $z = (x - μ) / σ$ , on peut réécrire

F_{Y} (y) = \int_{- μ / σ}^{(y - μ) / σ} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} {(z + \frac{2 μ}{σ})}^{2}) d z + \int_{- μ / σ}^{(y - μ) / σ} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{z^{2}}{2}) d z .

De manière similaire, en utilisant le changement de variable $z = - (x + μ) / σ \sqrt{2}$ dans la première intégrale et $z = (x - μ) / \sqrt{2} σ$ dans la deuxième, on peut écrire

F_{Y} (y) = \frac{1}{2} [erf (\frac{y + μ}{\sqrt{2} σ}) + erf (\frac{y - μ}{\sqrt{2} σ})],

où $erf$ est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand $μ = 0$ .

Propriétés

L'espérance est donnée par :

𝔼 (Y) = σ \sqrt{\frac{2}{π}} \exp (- \frac{μ^{2}}{2 σ^{2}}) + μ [1 - 2 Φ (- \frac{μ}{σ})],

où Φ(•) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

La variance est donnée par :

Var (Y) = μ^{2} + σ^{2} - {σ \sqrt{\frac{2}{π}} \exp (- \frac{μ^{2}}{2 σ^{2}}) + μ [1 - 2 Φ (- \frac{μ}{σ})]}^{2} .

Liens avec d'autres lois

Quand μ = 0, la loi normale repliée est la loi demi-normale.
Si Y est de loi normale repliée, Y/σ suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et de paramètre μ/σ.

Références

↑ H. Sombstay et T. Nguyen Huu, « Variabilité d'une fabrication en tenant compte des défauts de forme », Revue de statistique appliquée, vol. 6, n^o 1,‎ 1958, p. 17-36 (lire en ligne)

(en) FC Leone, RB Nottingham et LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, n^o 4,‎ 1961, p. 543–550 (DOI 10.2307/1266560, JSTOR 1266560)
(en) NL Johnson, « The folded normal distribution: accuracy of the estimation by maximum likelihood », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 4, n^o 2,‎ 1962, p. 249–256 (DOI 10.2307/1266622, JSTOR 1266622)
(en) LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Journal of Quality Technology, vol. 12, n^o 4,‎ 1980, p. 236–238 (DOI 10.1080/00224065.1980.11980971)
(en) RC Elandt, « The folded normal distribution: two methods of estimating parameters from moments », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, n^o 4,‎ 1961, p. 551–562 (DOI 10.2307/1266561, JSTOR 1266561)
(en) PC Lin, « Application of the generalized folded-normal distribution to the process capability measures », The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 26, n^os 7–8,‎ 2005, p. 825–830 (DOI 10.1007/s00170-003-2043-x)

Portail des probabilités et de la statistique

[1] H. Sombstay et T. Nguyen Huu, « Variabilité d'une fabrication en tenant compte des défauts de forme », Revue de statistique appliquée, vol. 6, n^o 1,‎ 1958, p. 17-36 (lire en ligne)

[1]

Loi normale repliée
Densité de probabilité $μ = 1, σ = 1$


Fonction de répartition $μ = 1, σ = 1$

Paramètres	$μ \in ℝ$ — (paramètre de forme) $σ > 0$ — (paramètre d'échelle)
Support	$x \in [0, \infty [$
Densité de probabilité	(voir l'article)
Fonction de répartition	(voir l'article)
Espérance	(voir l'article)
Variance	(voir l'article)
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