Loi parabolique
loi mathématique
En théorie des probabilités et en statistique, la loi parabolique est une loi de probabilité continue dont la densité de probabilité est définie à partir d'une fonction polynomiale de degré deux, c'est-à-dire une fonction qui dépend de deux paramètres.
| Loi parabolique | |
 Densité de probabilité | |
 Fonction de répartition | |
| Paramètres | ou |
|---|---|
| Support | |
| Densité de probabilité | |
| Fonction de répartition | |
| Espérance | |
| Médiane | |
| Variance | |
| Asymétrie | |
| Kurtosis normalisé | |
modifier  |
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![{\displaystyle a\in ]-\infty ,\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1cb02d73900c44182d9c06787a1038b8e87df6)
![{\displaystyle \beta \in ]-\infty ,\infty [,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7518530296675c0b81771d402f039f98fa615215)
![{\displaystyle x\in [a-b,a+b]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1722e0233a6db4e9339619c141d2d1a271bf10e1)
Cette loi est également appelée loi parabolique de forme . De manière similaire on peut définir la loi parabolique de forme .
Densité de probabilité
modifierLa densité de probabilité de la loi parabolique est :
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\alpha \left(x-\beta \right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd6af5c79f8bb34d83ee78f22b9564429eec199)
où , .
Il est parfois plus simple de considérer la fonction de densité sous une forme différente :
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {3}{2b}}\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be191faf6c1ea0d2d03d257b025651f572b910f3)
où , .
Les coefficients représentent la moyenne de la loi. Les coefficients donnent l'échelle verticale de la parabole.
Fonction de répartition
modifier![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\\\displaystyle {\alpha \over 3}\left((x-\beta )^{3}-{\frac {3}{2\alpha }}\right)&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\1&{\hbox{ pour }}x>\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be61e2806ed680c8b5b7a12564fb80887f14f80)
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<a-b\\{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{3}+1\right]&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\1&{\hbox{ pour }}x>b+a\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e16ccd9ef64170da8dfbdb2e805dc845743d9fc)
Applications
modifierRéférences
modifier- Horst Rinne, « (en) Location–Scale Distributions - Linear Estimation and Probability Plotting Using MATLAB », (consulté le ), p. 167
