Loi zêta

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Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (février 2011).

En théorie de probabilité et statistiques, la distribution zêta est une loi de probabilité discrète de paramètre $s > 1$ ^[1]. Elle est aussi appelée loi de Pareto discrète^[2], en lien avec la loi de Pareto.

Définition

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi zêta de paramètre $s$ si :

$ℙ (X = k) = k^{- s} / ζ (s)$

où $ζ$ est la fonction zêta de Riemann non définie en 1^[1].

Une loi zêta est un sous cas de la loi de Zipf où le paramètre N est infini.

Moments

Le n-ième moment est défini par l'espérance de Xⁿ :

$m_{n} = 𝔼 (X^{n}) = \frac{1}{ζ (s)} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s - n}}$

La série de droite est une représentation de la fonction zêta de Riemann et converge seulement pour les valeurs de s-n strictement supérieures à 1. Ainsi :

$m_{n} = {\begin{matrix} ζ (s - n) / ζ (s) & pour n < s - 1 \\ \infty & pour n \geq s - 1 \end{matrix}$

Lien avec la densité naturelle

Soit A une partie de $ℕ$ , on dit que A a une densité naturelle si $\frac{Card (A \cap {1, \dots, n})}{n}$ converge. Notons d(A) la limite. On a alors le résultat suivant : $ℙ_{s} (X \in A) \underset{s \to 1^{+}}{⟶} d (A)$

Démonstration

Soit $ϵ > 0$ , posons pour tout $n \in ℕ, c_{n} = Card (A \cap {1, \dots, n})$ on a par hypothèse que $lim_{n \to \infty} \frac{c_{n}}{n} = d (A)$ , donc on peut poser $n_{0} \in ℕ$ tel que $\forall n \in ℕ, n \geq n_{0} \Rightarrow | \frac{c_{n}}{n} - d (A) | \leq ϵ .$
On écrit alors $ℙ_{s} (X \in A) = \frac{\sum_{a \in A} \frac{1}{a^{s}}}{ζ (s)} = \frac{\sum_{\underset{a < n_{0}}{a \in A}} \frac{1}{a^{s}} + \sum_{\underset{a \geq n_{0}}{a \in A}} \frac{1}{a^{s}}}{ζ (s)}$
On s'intéresse au terme $\sum_{\underset{a \geq n_{0}}{a \in A}} \frac{1}{a^{s}}$ , on a : $\sum_{\underset{a \geq n_{0}}{a \in A}} \frac{1}{a^{s}} = \sum_{\underset{a \geq n_{0}}{a \in A}} \frac{c_{a}^{s}}{c_{a}^{s} a^{s}} \leq \sum_{\underset{a \geq n_{0}}{a \in A}} \frac{(d (A) + ϵ)^{s}}{c_{a}^{s}}$ car la variable muette a est supérieure à $n_{0} .$
Sans nuire à la généralité, supposons A infini (le cas A fini est trivial), écrivons alors $A = {a_{0}, a_{1}, \dots}$ . Il s'ensuit alors que pour $m \in ℕ, c_{a_{m}} = m$ . posons alors $n_{1} = \min ({m \in ℕ, a_{m} \geq n_{0}}) .$
On a donc $\frac{\sum_{\underset{a \geq n_{0}}{a \in A}} \frac{1}{c_{a}^{s}}}{ζ (s)} = \frac{\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m^{s}} - \sum_{m = 1}^{n_{1} - 1} \frac{1}{m^{s}}}{ζ (s)} = \frac{ζ (s) - \sum_{m = 1}^{n_{1} - 1} \frac{1}{m^{s}}}{ζ (s)} = 1 - \frac{\sum_{m = 1}^{n_{1} - 1} \frac{1}{m^{s}}}{ζ (s)} \underset{s \to 1^{+}}{⟶} 1$ , d'où $ℙ_{s} (X \in A) \leq \frac{\sum_{\underset{a < n_{0}}{a \in A}} \frac{1}{a^{s}}}{ζ (s)} + (d (A) + ϵ)^{s} (1 - \frac{\sum_{m = 1}^{n_{1} - 1} \frac{1}{m^{s}}}{ζ (s)}) \underset{s \to 1^{+}}{⟶} d (A) + ϵ$
On fait alors de même à gauche et on trouve pour s assez proche de 1 que $d (A) - 2 ϵ \leq ℙ_{s} (X \in A) \leq d (A) + 2 ϵ$ , ainsi : $ℙ_{s} (X \in A) \underset{s \to 1^{+}}{⟶} d (A)$

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zeta distribution » (voir la liste des auteurs).

1 2 Élise Davignon, « Introduction aux probabilités » [PDF], sur Université de Montréal
↑ « Programme probabilités discrètes » [PDF], sur université Paris Diderot

Portail des probabilités et de la statistique

[:0-1] 1 2 Élise Davignon, « Introduction aux probabilités » [PDF], sur Université de Montréal

[2] « Programme probabilités discrètes » [PDF], sur université Paris Diderot

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Zêta

Fonction de masse
Fonction de répartition

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