Méthode d'Hermite

La méthode d’Hermite, due au mathématicien Charles Hermite, permet de résoudre les équations de degré 5 en utilisant les fonctions elliptiques. La théorie de Galois montre que les équations ne sont pas solubles par radicaux à partir du cinquième degré. Charles Hermite a pu contourner cette difficulté en utilisant une résolution qui ne faisait pas appel à des radicaux et qui, par conséquent, ne venait pas contredire la théorie de Galois.

Historique

En 1858, Charles Hermite, Leopold Kronecker et Francesco Brioschi découvrent indépendamment que l'équation quintique peut être résolue à l'aide de fonctions elliptiques — dépassant ainsi le cadre des radicaux classiques, insuffisants pour les équations de degré 5 et supérieur.

Plus précisément, Hermite est le premier à proposer une solution de l'équation quintique générale en termes de fonctions modulaires elliptiques, dans un article publié en 1858. Peu après, Brioschi et Kronecker publient des solutions équivalentes.

Étapes de la méthode

Réduction à la forme de Bring–Jerrard

On commence par réduire le polynôme de degré 5 sous sa forme de Bring–Jerrard, qui est une forme déprimée du polynôme de base, $x^{5}-x+a=0$, à laquelle toute équation quintique peut être ramenée par des transformations de Tschirnhaus.

Aux alentours de 1835, Jerrard montre en effet que les équations quintiques peuvent être résolues en faisant appel aux radicaux de Bring, définis comme les racines réelles de $t^{5}+t-a$, pour $a$ réel.

Analogie avec la résolution de la cubique

Hermite arrive à sa solution en généralisant la méthode de résolution de l'équation cubique par les fonctions trigonométriques : il observe que les fonctions elliptiques jouent pour la quintique de Bring–Jerrard un rôle analogue à celui des fonctions trigonométriques pour la cubique.

Introduction des fonctions modulaires elliptiques

En 1858, Hermite montre que les radicaux de Bring peuvent être caractérisés en termes de fonctions thêta de Jacobi et de leurs fonctions modulaires elliptiques associées.

La méthode consiste à trouver une valeur de $\tau$ (le rapport des deux périodes d'une intégrale elliptique de première espèce) correspondant au paramètre $a$ de l'équation, puis à utiliser cette valeur pour obtenir les racines de l'équation modulaire associée. Les cinq quantités racines sont solutions d'une équation quintique à coefficients rationnels en $\tau$, et la détermination du module elliptique $k$ s'effectue par la résolution d'une équation du quatrième degré.

Contributions respectives de Kronecker et Brioschi

Leopold Kronecker, en utilisant la théorie des groupes, développe une version plus simple des résultats d'Hermite, tout comme Francesco Brioschi.

Dans son approche, Kronecker construit une « résolvante », c'est-à-dire une fonction rationnelle des racines possédant certaines propriétés de symétrie, dont les coefficients font intervenir des sinus de la forme $\sin(2\pi n/5)$. Son carré satisfait une équation de degré 6 qui est essentiellement une équation modulaire (équation de Jacobi), ce qui fournit une voie plus canonique vers la solution.

Prolongements et héritage

Plus tard, Felix Klein propose une méthode particulièrement élégante reliant les symétries de l'icosaèdre, la théorie de Galois et les fonctions elliptiques modulaires intervenant dans la solution d'Hermite, donnant une explication profonde à leur apparition.

Plus récemment, les travaux de Doyle et McMullen (1989) ont remplacé l'inversion transcendante de la carte icosaédrale, due à Hermite et Kronecker, par un algorithme purement itératif pour la résolution de la quintique.

Références

• Charles Hermite, « Sur la résolution de l'équation du cinquième degré », Comptes rendus de l'Académie des sciences, vol. XLVI, n^o 11,‎ 1858 (DOI 10.1017/CBO9780511702761.003)
• Leopold Kronecker, « Sur la résolution de l'équation du cinquième degré », Comptes rendus, vol. XLVI, n^o I,‎ 1858, p. 1150–1152.
• Francesco Brioschi, « Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado », Atti dell'I. R. Istituto Lombardo, vol. I,‎ 1858, p. 275–282.
• (en) Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, Trübner & Co, 1888.

Voir aussi

• Radical de Bring