Martingale locale

Dans la théorie des processus stochastiques, une martingale locale est un processus stochastique qui est localement une martingale, ce qui signifie qu'il y a une suite de localisation de temps d'arrêt et que le processus arrêté est une martingale.

Definition

Soi $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,P)$ un espace de probabilité filtré et un processus $\mathbb {F}$-adapté $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ avec $X_{0}=0$ (zéro à zéro).

S'il existe une suite non décroissante $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de temps d'arrêt de $\mathbb {F}$ telle que

1. $P\left(\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}=\infty \right)=1$ et
2. pour tout $n\in \mathbb {N}$ le processus arrêté $X^{(n)}=(X_{t}^{(n)})_{t\geq 0}$ défini par $X_{t}^{(n)}{\overset {\Delta }{=}}X_{t\wedge T_{n}}$ soit une martingale,

alors on appelle $X$ une martingale locale et on écrit $X\in {\mathcal {M}}^{\operatorname {loc} }$.

Si $X$ est continue, on écrit $X\in {\mathcal {M}}^{c,\operatorname {loc} }$.