Matrice de Vandermonde
En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.
De façon matricielle, elle se présente ainsi :
Autrement dit, pour tous i et j, le coefficient en ligne i et colonne j est
- Remarque.
- Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus[1].
Inversibilité
modifierOn considère une matrice V de Vandermonde carrée (). Elle est inversible si et seulement si les sont deux à deux distincts.
Déterminant
modifierLe déterminant d'une matrice de Vandermonde ( dans ce cas) peut s'exprimer ainsi[3],[4]
- .
Applications
modifierLa matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale[5].
Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients sont des racines complexes de l'unité[6].
Notes et références
modifier- N. Macon et A. Spitzbart, « Inverses of Vandermonde Matrices », The American Mathematical Monthly, vol. 65, no 2, , p. 95–100 (DOI 10.2307/2308881, JSTOR 2308881)
- Pour une preuve moins conceptuelle, voir par exemple .
- Cette forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.
- Mohamed Houimdi, Algèbre linéaire, algèbre bilinéaire: cours et exercices corrigés, Edition Marketing Ellipses, , 551 p., p. 185-186
- Jean-Philippe Chancelier, « Interpolation et approximation polynomiale: Réponses »
, sur CERMICS, (consulté le )
- (en) Gene H Golub, Charles F Van Loan, Matrix computations, jhu press, 722 p. (ISBN 0801837723), p. 183
Voir aussi
modifierBibliographie
modifier- Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : algèbre, m.p. - spéciales m',m, Dunod, Paris, 1971 ; pages 316 à 319.
- Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Précis de mathématiques, Tome 2, Algèbre 2, 3e édition, Bréal, 1994 ; pages 19 et 20.
Articles connexes
modifierLien externe
modifier- Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes