La notion de matrice productive a été développée par l'économiste Wassily Leontief (Prix Nobel d'économie en 1973) afin de modéliser et d'analyser les relations entre les différents secteurs d'une économie[1]. Les liens d'interdépendances entre ces derniers peuvent ainsi être étudiés par l'analyse entrées-sorties à l'aide de données empiriques.
La matrice
est productive si et seulement si
et
tel que
.
La matrice
est productive.
, la matrice
est productive car les inégalités de définition sont vérifiés par
.
Théorème
Une matrice
à coefficients positifs est productive si et seulement si
est inversible d'inverse à coefficients positifs.
Démonstration
- Soit
.
- Ainsi la matrice
est à coefficients positifs car produit de deux matrices à coefficients positifs.
- De plus,
.
- D'où
.
- Donc
est productive.
- Raisonnons ab absurdo.
- Supposons que
tel que
et que
est singulière.
- L'endomorphisme canoniquement associé à
n'est pas injectif par singularité de la matrice.
- Ainsi
non nulle telle que
.
- La matrice
vérifie les mêmes propriétés que
, on peut donc choisir
comme un élément du noyau ayant au moins un terme strictement positif;
- D'où
est positif et atteint en au moins une valeur
.
- Par définition de
et de
, nous avons alors:
![{\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=cp_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f394d75936e8fde4a1c6f9c10d22a644324d0ddd)
![{\displaystyle cp_{k}=z_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}z_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d228752e7626a5bfa632ad87d775761f2a00b51)
- D'où
.
- Or nous savons que
et que
.
- Il y a donc contradiction, ipso facto
est nécessairement inversible.
- Supposons désormais que
soit inversible mais d'inverse ayant au moins un terme négatif.
- Ainsi
telle que
possède au moins un terme négatif.
- Alors
est positif et atteint en au moins une valeur
.
- Par définition de
et de
, nous avons alors:
![{\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=-y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2894c842dbf3560720ea96d61e4a3593d8aef2)
![{\displaystyle x_{k}=y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bac763271e528d9b1618509820f01f271e8cdb8)
![{\displaystyle cv_{k}+x_{k}=-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(cp_{i}+y_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23562e0d39bab1a4eab134a9ec4cbf9351cb13c)
- D'où
car
.
- Or nous savons que
.
- Il y a donc contradiction, ipso facto
est nécessairement à coefficients positifs.
Proposition
La transposée d'une matrice productive est productive.
Dans une approche matricielle du tableau entrées-sorties, la matrice de consommation est productive si elle est économiquement viable et si cette dernière ainsi que le vecteur de demande ne comportent que des éléments positifs ou nuls.