Matrice semi-simple

En algèbre linéaire, la notion de matrice semi-simple constitue une généralisation de la notion de matrice diagonalisable. Elle permet de discriminer deux types d'obstruction à la diagonalisabilité : d'une part les obstructions liées à l'arithmétique du corps de coefficients dans lequel la matrice est considérée, et d'autre part les obstructions qui demeurent indépendantes de ce corps.

Une matrice A à coefficients dans un corps commutatif K est dite semi-simple sur K si tout sous-espace stable par A possède un supplémentaire stable par A.

Résultats généraux

La semi-simplicité se caractérise à l'aide du polynôme minimal de la matrice considérée : une matrice à coefficients dans K est semi-simple si et seulement si son polynôme minimal est sans facteur carré (c'est-à-dire qu'il n'admet aucun diviseur qui soit le carré d'un autre polynôme) dans K[X].

En particulier, dans le cas où toutes les racines du polynôme minimal de A appartiennent à K, ceci se particularise en : A est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable.

Si le corps des coefficients a la propriété d'être parfait (par exemple tout corps fini, ou tout corps de caractéristique nulle comme le corps des nombres rationnels ou le corps des nombres réels), c'est-à-dire que tous les polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps n'ont que des racines simples dans une clôture algébrique de ce corps, la caractérisation peut s'écrire : une matrice est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable dans une clôture algébrique du corps.

Démonstration

Si le polynôme minimal M de A admet un carré P² comme diviseur, alors la matrice A n'est pas semi-simple. En effet, le sous-espace Im(P(A)) est dans ce cas un sous-espace stable, et, si S désigne un supplémentaire stable de ce sous-espace, alors ${\frac {M}{P}}(A)(S)\subset S\cap Im(P(A))$ d'une part par stabilité, et d'autre part, car P divise M/P. Il s'ensuit que M/P est un polynôme annulateur de A, en contradiction avec la définition de polynôme minimal. Réciproquement, si le polynôme minimal M de A est sans facteur carré, que S désigne un sous-espace stable par A, alors le polynôme minimal N de A considéré en restriction à S est un diviseur de M. On vérifie alors que S est le noyau de N(A), et admet comme supplémentaire stable le noyau de M/N(A), d'après le lemme des noyaux.

Dans le cas d'un corps parfait, le polynôme minimal est sans facteur carré si et seulement s'il est séparable, c'est-à-dire qu'il se scinde en facteurs simples dans une clôture algébrique de K. On reconnaît bien une caractérisation classique de la diagonalisabilité dans une clôture algébrique.

Un exemple dans un corps non parfait

Les définitions et résultats qui précèdent peuvent dépendre du corps K dans lequel on se place.

Voici un exemple quelque peu pathologique, qui permet d'observer certaines subtilités.

Soit F₂ le corps à deux éléments, et soit K = F₂(Y), le corps des fractions rationnelles sur F₂. Définissons la matrice

$A={\begin{pmatrix}0&Y\\1&0\end{pmatrix}}.$

Le polynôme caractéristique de cette matrice est χ_A(Z) = Z² – Y, qui n'a pas de racine dans K car Y n'est pas un carré dans K, puisque sa valuation est impaire. Ceci montre que la matrice A n'a pas de valeur propre dans K. Elle est donc semi-simple sur K.

On considère maintenant l'extension quadratique L = K[X]/(Y – X²), corps de décomposition de χ_A.

Sur L, χ_A(Z) = Z² – X² = (Z – X)² n'est plus irréductible, et A a comme valeur propre double X. Si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice scalaire XI, donc égale à cette matrice. Mais on constate que A n'est pas une matrice scalaire. Elle n'est donc pas diagonalisable et donc pas semi-simple sur L.

Référence

Jean-Marie Arnaudiès et José Bertin, Groupes, algèbres et géométrie, Ellipses, 1993