Les matrices de Gell-Mann , nommées d'après Murray Gell-Mann (1929 -2019 ), sont, en physique des particules , un ensemble de huit matrices 3 x 3 hermitiennes et de trace nulle qui forment une représentation des générateurs du groupe SU(3) .
Elles sont notées
λ
a
{\displaystyle \lambda _{a}}
λ
1
=
(
0
1
0
1
0
0
0
0
0
)
,
{\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}
λ
2
=
(
0
−
i
0
i
0
0
0
0
0
)
,
{\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-{\rm {i}}&0\\{\rm {i}}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}
λ
3
=
(
1
0
0
0
−
1
0
0
0
0
)
,
{\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}
λ
4
=
(
0
0
1
0
0
0
1
0
0
)
,
{\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},}
λ
5
=
(
0
0
−
i
0
0
0
i
0
0
)
,
{\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-{\rm {i}}\\0&0&0\\{\rm {i}}&0&0\end{pmatrix}},}
λ
6
=
(
0
0
0
0
0
1
0
1
0
)
,
{\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},}
λ
7
=
(
0
0
0
0
0
−
i
0
i
0
)
,
{\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-{\rm {i}}\\0&{\rm {i}}&0\end{pmatrix}},}
λ
8
=
1
3
(
1
0
0
0
1
0
0
0
−
2
)
.
{\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}
Elles vérifient les relations suivantes :
T
r
(
λ
a
λ
b
)
=
2
δ
a
b
[
λ
a
,
λ
b
]
=
2
i
f
a
b
c
λ
c
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Tr} \left(\lambda _{a}\lambda _{b}\right)&=2\,\delta _{ab}\\\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2{\rm {i}}\,f_{abc}\lambda _{c}\end{aligned}}}
où :
δ
{\displaystyle \delta }
symbole de Kronecker ,
T
r
{\displaystyle \mathrm {Tr} }
trace ,
[
⋅
,
⋅
]
{\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}
commutateur ,
i
{\displaystyle {\rm {i}}}
unité imaginaire
(
i
2
=
−
1
)
{\displaystyle \left({\rm {i}}^{2}=-1\right)}
sur un indice double (ici
c
{\displaystyle c}
convention d'Einstein ). La première relation exprime que les matrices sont orthogonales et normées.
La deuxième avec le commutateur contient les constantes de structure dont les valeurs sont :
f
123
=
1
{\displaystyle f_{123}=1}
f
147
=
−
f
156
=
f
246
=
f
257
=
f
345
=
−
f
367
=
1
2
{\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}}
et
f
458
=
f
678
=
3
2
{\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
A noter que
f
a
b
c
{\displaystyle f_{abc}}
f
123
=
−
f
132
=
f
231
{\displaystyle f_{123}=-f_{132}=f_{231}}
[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain et Pascal Febvre , Dictionnaire de physique , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , hors coll. / sciences, janv. 20184e éd. (1re éd. mai 2008 ), 1 vol. X ill. et fig. , 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5 EAN 9782807307445 OCLC 1022951339 BNF 45646901 SUDOC 224228161 présentation en ligne , lire en ligne ) , s.v. p. 335, col. 2
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Tr} \left(\lambda _{a}\lambda _{b}\right)&=2\,\delta _{ab}\\\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2{\rm {i}}\,f_{abc}\lambda _{c}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472b9743f19cf17ed09d2f2aeea1f4c0adf077b6)
![{\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbd62035834752b172b9d64026683da05d6eccb)
