Mesure discrète

En mathématiques, et plus précisément en théorie de la mesure, une mesure sur la droite réelle est dite mesure discrète (par rapport à la mesure de Lebesgue) si elle est concentrée sur un ensemble au plus dénombrable. Le support n'est pas nécessairement un ensemble discret. Géométriquement, une mesure discrète (sur la droite réelle, par rapport à la mesure de Lebesgue) peut être vue comme une collection de masses ponctuelles.

Définition et propriétés

Article connexe : Atome (théorie de la mesure).

Soient deux mesures σ-finies (positives) $μ$ et $ν$ sur un espace mesurable $(X, Σ)$ . On dit que $μ$ est discrète par rapport à $ν$ s'il existe un sous-ensemble $S \subset X$ appartenant à $Σ$ , au plus dénombrable, tel que :

Tous les singletons ${s}$ , pour $s \in S$ , soient mesurables (ce qui implique que tout sous-ensemble de $S$ est mesurable).
$ν (S) = 0$
$μ (X ∖ S) = 0$

Une mesure $μ$ sur $(X, Σ)$ est discrète (par rapport à $ν$ ) si et seulement si $μ$ est de la forme :

μ = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} δ_{s_{i}}

où $a_{i} \in ℝ_{> 0}$ et où les mesures de Dirac $δ_{s_{i}}$ sont définies sur l'ensemble $S = {s_{i}}_{i \in ℕ}$ par :

δ_{s_{i}} (X) = {\begin{matrix} 1 & si s_{i} \in X \\ 0 & si s_{i} \notin X \end{matrix}

pour tout $i \in ℕ$ .

On peut également définir la notion de discrétion pour les mesures signées.

Exemple sur $ℝ$

Une mesure $μ$ , définie sur les ensembles mesurables au sens de Lebesgue de la droite réelle et à valeurs dans $[0, \infty]$ , est dite discrète s'il existe une suite (éventuellement finie) de nombres $s_{1}, s_{2}, \dots$ telle que

μ (ℝ ∖ {s_{1}, s_{2}, \dots}) = 0

Notons que les deux premières conditions énoncées dans la section précédente sont toujours satisfaites pour un sous-ensemble au plus dénombrable de la droite réelle, lorsque $ν$ est la mesure de Lebesgue.

L'exemple le plus simple de mesure discrète sur la droite réelle est la mesure de Dirac $δ$ . On a $δ (ℝ ∖ {0}) = 0$ et $δ ({0}) = 1.$

Plus généralement, on peut démontrer que toute mesure discrète sur la droite réelle s'écrit sous la forme

μ = \sum_{i} a_{i} δ_{s_{i}}

pour une suite (éventuellement finie) de nombres réels $s_{1}, s_{2}, \dots$ choisie de manière appropriée, et une suite de nombres $a_{1}, a_{2}, \dots$ appartenant à $[0, \infty]$ et de même longueur.

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Discrete measure » (voir la liste des auteurs).

(en) Martin Buntinas, Classical and Discrete Functional Analysis with Measure Theory, London Mathematical Society, 2022 (ISBN 9781107034143)

Liens externes

Portail de l'analyse

Portail des probabilités et de la statistique

Portail de la physique