Mesure gaussienne

En analyse, les mesures gaussiennes sont des mesures qui ont une mesure image avec une densité normale sur $\mathbb {R}$. Le concept est notamment étendu aux espaces de dimension infinie. Les espaces de Banach séparables munis de mesures gaussiennes et d’un espace de Hilbert densément plongé en leur sein sont appelés espaces de Wiener abstraits, introduits par Leonard Gross. Cependant, Norbert Wiener avait déjà considéré dans ses travaux initiaux un espace de dimension infinie muni d’une mesure gaussienne, mais dans le cas de fonctions réelles sur l’intervalle unité ; voir l’espace de Wiener classique.

Définition

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension finie

En dimension 1

Une mesure de probabilité de Borel $\gamma$ sur $\mathbb {R}$ est une mesure gaussienne si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

• c'est la mesure de Dirac ${\displaystyle \gamma$ :=\delta _{p}} en un point $p$ ;
• elle a la forme suivante :

$\gamma (B)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{B}\exp \left(-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\mathrm {d} x,\qquad B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

par rapport à la mesure de Lebesgue.

Le second cas est dit non dégénéré.

En dimension d

Une mesure de probabilité de Borel sur $\mathbb {R} ^{d}$ est une mesure gaussienne si pour toute fonctionnelle linéaire $f\in (\mathbb {R} ^{d})^{*}$, la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $\mathbb {R}$.

Mesure gaussienne dans des espaces de dimension infinie

Les mesures gaussienne sont étudiées en particulier dans les espaces de dimension infinie. La théorie sous-jacente est la théorie de la mesure dans les espaces vectoriels topologiques.

Espace localement convexe

Soit $X$ un espace localement convexe, $X'$ son dual topologique et ${\mathcal {E}}(X)$ la tribu générée par tous les sous-ensembles cylindriques de $X$, telle que toutes les fonctionnelles $f\in X'$ soient mesurables.

Une mesure de probabilité $\gamma$ sur ${\mathcal {E}}(X)$ est gaussienne si pour toute fonctionnelle $f\in X'$ la mesure $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $\mathbb {R}$.

Mesure de Radon gaussienne

Soit $X$ un espace localement convexe muni de la σ-algèbre borélienne ${\mathcal {B}}(X)$, et $\gamma$ une mesure de Radon sur celui-ci. Alors $\gamma$ est une mesure de Radon gaussienne si la restriction de $\gamma$ à la σ-algèbre cylindrique ${\mathcal {E}}(X,X')$ est une mesure gaussienne.

Toute mesure gaussienne n’est pas nécessairement une mesure de Radon. Soit $\ell ^{\infty }$ l’espace des suites bornées et ${\ell ^{\infty }}'$ son dual topologique. David Fremlin et Michel Talagrand ont construit une mesure gaussienne sur la σ-algèbre cylindrique ${\mathcal {E}}(\ell ^{\infty },{\ell ^{\infty }}')$ qui attribue la mesure $0$ aux boules fermées de rayon $1$, et qui n’est donc pas de Radon.

Espace de Cameron–Martin

Pour toute mesure gaussienne $\gamma$ sur un espace vectoriel localement convexe $X$, il existe un espace de Cameron–Martin $H_{\gamma }$, un espace de Hilbert particulier formé des directions dans $X$ le long desquelles $\gamma$ peut être translatée pour obtenir une nouvelle mesure gaussienne.

Pour $x\in X$ et $f\in X'$, on considère l’application :

$j:X'\to L^{2}(X,\gamma ),\quad j(f)(x):=\langle f,x\rangle$

qui envoie chaque $f\in X'$ sur une variable aléatoire quadratiquement intégrable. Soit $E_{a}^{\gamma }\subset L^{2}(X,\gamma )$ l’espace constitué de toutes les variables gaussiennes linéaires centrées et de leur fermeture dans $L^{2}$, c’est-à-dire :

$E_{a}^{\gamma }={\overline {\{f-E[f]:f\in X'\}}}_{L^{2}(\gamma )}.$

$E_{a}^{\gamma }$ est appelé espace gaussien ou le premier chaos de Wiener (décomposition du chaos de Wiener).

L’application transposée algébrique $S:=j^{t}$ est l’opérateur $S:L^{2}(X,\gamma )\to (X')^{*}$ défini par :

${\displaystyle (Sg)(f)=\langle f,Sg\rangle$ :=\int _{X}g(x)\langle f,x\rangle ,\gamma (dx)}

pour $g\in L^{2}(X,\gamma )$ et $f\in X'$. La composition $R:=j^{t}j$ est le opérateur de covariance et un opérateur reproduisant. L’espace de Cameron–Martin est défini comme l’image de $S$ restreinte à $E_{a}^{\gamma }$ :

$H_{\gamma }:=S(E_{a}^{\gamma })\subset X,$

on peut aussi définir cet espace en utilisant directement l’opérateur de covariance.

Une structure d’espace de Hilbert est obtenue via le produit scalaire $L^{2}(\gamma )$ :

$\langle S(f),S(g)\rangle _{H_{\gamma }}:=\langle f,g\rangle _{L^{2}(X,\gamma )}=\int _{X}f(x)g(x)\gamma (dx),\qquad f,g\in E_{a}^{\gamma }$

et la norme sur $H_{\gamma }$ est alors :

$\|S(f)\|_{H\gamma }:=\|f\|_{L^{2}(X,\gamma )},\quad f\in E_{a}^{\gamma }.$

Un espace de probabilité $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ associé à un espace gaussien est appelé, en Calcul de Malliavin, un espace de probabilité gaussien.

Mesures gaussiennes sur des espaces linéaires généraux

Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ un espace de fonctions linéaires qui séparent les points de $E$, et ${\mathcal {E}}(E,F)$ la σ-algèbre cylindrique. Alors $\gamma$ est une mesure gaussienne si, pour tout $f\in F$, l’application $\gamma \circ f^{-1}$ est une mesure gaussienne sur $\mathbb {R}$. On peut montrer que cette définition est équivalente à celle donnée sur les espaces localement convexes.

Exemples

Mesure de Wiener classique

Soit $C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})$ l’espace de tous les fonctions continues (chemins) $\xi \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$ vérifiant $\xi (0)=0$ et $\lim \limits _{t\to \infty }{\big |}{\tfrac {\xi (t)}{t}}{\big |}=0$, muni de la σ-algèbre borélienne ${\mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}))$. On peut montrer que $C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})$, muni de la norme uniforme $\|\xi \|_{\infty }:=\sup \limits _{t\geq 0}|\xi (t)|$, c’est-à-dire de la topologie de la convergence uniforme, est un espace de Banach séparable.

Il existe alors sur cet espace une mesure unique $W$, appelée mesure de Wiener, qui engendre le mouvement brownien à valeurs dans $\mathbb {R} ^{n}$.

Considérons des instants $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}$ et des ensembles boréliens $A_{1},\dots ,A_{k}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$. On définit l’ensemble cylindrique dans l’espace des chemins $C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})$ par :

$C(A_{1},\dots ,A_{k}):={\Bigl \{}\xi \in C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}):(\xi (t_{1}),\dots ,\xi (t_{k}))\in A_{1}\times \cdots \times A_{k}{\Bigr \}}$

Alors la mesure de Wiener $W$ est donnée, pour tout ensemble cylindrique, par :

$W{\bigl (}C(A_{1},\dots ,A_{k}){\bigr )}=\int _{A_{1}}\cdots \int _{A_{k}}\prod _{j=1}^{k}p_{t_{j}-t_{j-1}}(x_{j}-x_{j-1}),dx_{j},\quad x_{0}=0,$

où :

$p_{t}(x)=(2\pi t)^{-n/2}\exp \left(-{\frac {\|x\|^{2}}{2t}}\right)$

avec la norme euclidienne $\|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Gaußsches Maß » (voir la liste des auteurs).