Modèle HPP

Le modèle de Hardy–Pomeau–Pazzis ou modèle HPP est un automate fini déterministe simple de type gaz sur réseau utilisé pour la simulation de gaz et de liquides. Il est un précurseur de la méthode de Boltzmann sur réseau.

Modèle HPP à faible résolution.

Il a été introduit dans des articles publiés en 1973 et 1976 par Jean Hardy, Yves Pomeau et Olivier de Pazzis.

Modèle

Quatre exemples de règles du modèle.

Simulation 2D sur grille 300x200 pixels avec conditions de périodicité. Le problème est la détente d'une région centrale de dimension 100x100 concentrant les particules.

Dans ce modèle, le réseau est constitué d'une grille bidimensionnelle régulière où les particules sont positionnées et peuvent se déplacer vers l'un des quatre points adjacents partageant une arête commune. Chaque particule possède une direction de déplacement. Chaque nœud du réseau peut contenir au plus une particule de direction donnée, soit un total compris entre zéro et quatre particules.

Le modèle est régi par les règles suivantes :

1. Une particule isolée se déplace dans une direction fixe jusqu'à ce qu'elle subisse une collision.
2. Deux particules entrant en collision frontale sont déviées perpendiculairement à leur trajectoire initiale.
3. Deux particules entrant en collision non frontale se croisent simplement et poursuivent leur déplacement dans la même direction.
4. Optionnellement, lorsqu'une particule entre en collision avec les bords du réseau, elle peut rebondir.

Le modèle HPP repose sur un processus de mise à jour en deux étapes : transport sur un pas du réseau et collision éventuelle.

Définition formelle

Le modèle repose sur un réseau bidimensionnel uniforme infini (en fait un réseau fini avec conditions de périodicité) où quatre vecteurs unitaires sont associés aux nombres suivants : $1\mapsto \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right),2\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right),3\mapsto \left({\begin{array}{c}-1\\0\end{array}}\right),4\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\-1\end{array}}\right)$.

Soit $X$ une configuration autorisée. La fonction $\sigma _{X}$ vérifie l'existence d'une particule dotée d'une certaine vitesse, tandis que ${\bar {\sigma }}_{X}$ effectue l'opération inverse :

$\sigma _{X}(p,q,i)={\begin{cases}1{\text{ si le site }}(p,q){\text{ est occupé par une particule de }}X{\text{ de vitesse }}i,\\0{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

${\bar {\sigma }}_{X}(p,q,i)=1-\sigma _{X}(p,q,i)$

Le successeur $T(X)$ de la configuration $X$ peut être calculé de la manière suivante :$${\begin{array}{lcl}\sigma _{T(X)}(p,q,1)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,2)&=&\sigma _{X}(p,q-1,2)+\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,3)&=&\sigma _{X}(p+1,q,3)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,4)&=&\sigma _{X}(p,q+1,4)+\Psi _{X}(p,q)\end{array}}$$

$${\begin{array}{lcl}\Psi _{X}(p,q)&=&\psi _{X}^{1}(p,q)-\psi _{X}^{2}(p,q)\\\psi _{X}^{1}(p,q)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)\sigma _{X}(p+1,q,3){\bar {\sigma }}_{X}(p,q-1,2){\bar {\sigma }}_{X}(p,q+1,4)\\\psi _{X}^{2}(p,q)&=&{\bar {\sigma }}_{X}(p-1,q,1){\bar {\sigma }}_{X}(p+1,q,3)\sigma _{X}(p,q-1,2)\sigma _{X}(p,q+1,4)\end{array}}$$

Lacunes du modèle

Le modèle présente des défauts majeurs :

• absence de dissipation : la quantité de mouvement est systématiquement conservée, tant dans la direction horizontale que verticale. Aucune énergie n'est jamais soustraite au système, que ce soit par des collisions ou par le mouvement lui-même, de sorte que celui-ci perdure indéfiniment.

• pas de symétrie de rotation, ce qui le rend fortement anisotrope. Cela implique, par exemple, que les tourbillons générés par ce modèle présentent une forme carrée.

Voir aussi

• Automate cellulaire
• Modèle d'Ising
• Équations de Navier-Stokes
• A New Kind of Science

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « HPP model » (voir la liste des auteurs).