Modèle Cox-Ingersoll-Ross

Le modèle Cox-Ingersoll-Ross (CIR) est utilisé en mathématiques financières pour modéliser l'évolution des taux d'intérêt court terme. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique (EDS)

$d X_{t} = κ (θ - X_{t}) d t + σ \sqrt{X_{t}} d B_{t}$

où $X_{0}$ est positif, et $B$ est un mouvement brownien. Notons que la solution de cette EDS reste strictement positive sous la condition $2 κ θ > σ^{2}$ . Le paramètre $θ$ donne la moyenne à long terme, et $κ > 0$ donne la vitesse à laquelle le processus va converger vers cet équilibre. Bien sûr, la partie brownienne vient perpétuellement perturber cette convergence à l'équilibre, mais ce processus va essentiellement se concentrer autour de la valeur de $θ$ au bout d'un certain temps.

Valorisation des obligations

Pour la valorisation, le processus est considéré sous la mesure risque-neutre $ℚ$ :

d r_{t} = κ_{ℚ} (θ_{ℚ} - r_{t}) d t + σ \sqrt{r_{t}} d W_{t}^{ℚ} .

Le modèle CIR appartient à la classe des modèles affines de taux : le prix $P (t, T)$ d'une obligation zéro-coupon arrivant à échéance en $T$ s'écrit

P (t, T) = A (t, T) e^{- B (t, T) r_{t}} .

En posant $τ = T - t$ et

γ = \sqrt{κ_{ℚ}^{2} + 2 σ^{2}},

on obtient

B (t, T) = \frac{2 (e^{γ τ} - 1)}{(γ + κ_{ℚ}) (e^{γ τ} - 1) + 2 γ},

et

A (t, T) = {[\frac{2 γ e^{(κ_{ℚ} + γ) τ / 2}}{(γ + κ_{ℚ}) (e^{γ τ} - 1) + 2 γ}]}^{2 κ_{ℚ} θ_{ℚ} / σ^{2}} .

Cette forme fermée constitue l'une des propriétés essentielles du modèle pour l'étude de la structure par terme des taux d'intérêt^[1].

Références

↑ (en) John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll Jr. et Stephen A. Ross, « A Theory of the Term Structure of Interest Rates », Econometrica, vol. 53, n^o 2,‎ 1985, p. 385–407 (DOI 10.2307/1911242)

Voir aussi

Bibliographie

J.C. Cox, J.E. Ingersoll et S.A. Ross, A Theory of the Term Structure of Interest Rates, Econometrica, 53, pp. 385–407, 1985.

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[1] (en) John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll Jr. et Stephen A. Ross, « A Theory of the Term Structure of Interest Rates », Econometrica, vol. 53, n^o 2,‎ 1985, p. 385–407 (DOI 10.2307/1911242)

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