Modèle Cox-Ingersoll-Ross

Le modèle Cox-Ingersoll-Ross (CIR) est utilisé en mathématiques financières pour modéliser l'évolution des taux d'intérêt court terme. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique (EDS)

$dX_{t}=\kappa (\theta -X_{t})dt+\sigma {\sqrt {X_{t}}}dB_{t}$

où $X_{0}$ est positif, et $B$ est un mouvement brownien. Notons que la solution de cette EDS reste strictement positive sous la condition $2\kappa \theta >\sigma ^{2}$. Le paramètre $\theta$ donne la moyenne à long terme, et $\kappa >0$ donne la vitesse à laquelle le processus va converger vers cet équilibre. Bien sûr, la partie brownienne vient perpétuellement perturber cette convergence à l'équilibre, mais ce processus va essentiellement se concentrer autour de la valeur de $\theta$ au bout d'un certain temps.

Valorisation des obligations

Pour la valorisation, le processus est considéré sous la mesure risque-neutre $\mathbb {Q}$ :

$\mathrm {d} r_{t}=\kappa _{\mathbb {Q} }(\theta _{\mathbb {Q} }-r_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,\mathrm {d} W_{t}^{\mathbb {Q} }.$

Le modèle CIR appartient à la classe des modèles affines de taux : le prix $P(t,T)$ d'une obligation zéro-coupon arrivant à échéance en $T$ s'écrit

$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}.$

En posant $\tau =T-t$ et

$\gamma ={\sqrt {\kappa _{\mathbb {Q} }^{\,2}+2\sigma ^{2}}},$

on obtient

$B(t,T)={\frac {2\left(e^{\gamma \tau }-1\right)}{(\gamma +\kappa _{\mathbb {Q} })\left(e^{\gamma \tau }-1\right)+2\gamma }},$

et

$A(t,T)=\left[{\frac {2\gamma e^{(\kappa _{\mathbb {Q} }+\gamma )\tau /2}}{(\gamma +\kappa _{\mathbb {Q} })\left(e^{\gamma \tau }-1\right)+2\gamma }}\right]^{2\kappa _{\mathbb {Q} }\theta _{\mathbb {Q} }/\sigma ^{2}}.$

Cette forme fermée constitue l'une des propriétés essentielles du modèle pour l'étude de la structure par terme des taux d'intérêt.

Voir aussi

Bibliographie

• J.C. Cox, J.E. Ingersoll et S.A. Ross, A Theory of the Term Structure of Interest Rates, Econometrica, 53, pp. 385–407, 1985.