Processus d'Ornstein-Uhlenbeck

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

En mathématiques, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, nommé d'après Leonard Ornstein et George Uhlenbeck^[1] et aussi connu sous le nom de mean-reverting process, est un processus stochastique décrit par l'équation différentielle stochastique

d r_{t} = - θ (r_{t} - μ) d t + σ d W_{t},

où θ, μ et σ sont des paramètres déterministes et W_t est le processus de Wiener.

Solution

Cette équation est résolue par la méthode de variation des constantes. Appliquons le lemme d'Itō à la fonction $f (r_{t}, t) = r_{t} e^{θ t}$ pour obtenir

d f (r_{t}, t) = θ r_{t} e^{θ t} d t + e^{θ t} d r_{t} = e^{θ t} θ μ d t + σ e^{θ t} d W_{t} .

En intégrant de 0 à t, on obtient

r_{t} e^{θ t} = r_{0} + \int_{0}^{t} e^{θ s} θ μ d s + \int_{0}^{t} σ e^{θ s} d W_{s}

d'où nous voyons

r_{t} = r_{0} e^{- θ t} + μ (1 - e^{- θ t}) + \int_{0}^{t} σ e^{θ (s - t)} d W_{s} .

Ainsi, le premier moment est donné (en supposant que $r_{0}$ est une constante) par :

E (r_{t}) = r_{0} e^{- θ t} + μ (1 - e^{- θ t}) .

$s \land t = min (s, t)$ On peut utiliser l'isométrie d'Itō (en) pour calculer la covariance

cov (r_{s}, r_{t}) = E [(r_{s} - E [r_{s}]) (r_{t} - E [r_{t}])]

= E [\int_{0}^{s} σ e^{θ (u - s)} d W_{u} \int_{0}^{t} σ e^{θ (v - t)} d W_{v}]

= σ^{2} e^{- θ (s + t)} E [\int_{0}^{s} e^{θ u} d W_{u} \int_{0}^{t} e^{θ v} d W_{v}]

= \frac{σ^{2}}{2 θ} e^{- θ (s + t)} (e^{2 θ (s \land t)} - 1) .

Il est aussi possible (et souvent commode) de représenter $r_{t}$ (sans condition) en tant que mesure transformée du temps du processus Wiener :

r_{t} = μ + \frac{σ}{\sqrt{2 θ}} W (e^{2 θ t}) e^{- θ t}

ou avec condition ( $r_{0}$ donné) comme

r_{t} = r_{0} e^{- θ t} + μ (1 - e^{- θ t}) + \frac{σ}{\sqrt{2 θ}} W (e^{2 θ t} - 1) e^{- θ t} .

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck (un exemple de processus gaussien à variance bornée) admet une distribution de probabilité stationnaire, contrairement au processus de Wiener.

L'intégrale temps de ce processus peut être utilisée pour générer un bruit avec un spectre de puissance 1/f.

Application

Le modèle de Vasicek (en) des taux d'intérêt est un exemple de processus d'Ornstein-Uhlenbeck où les coefficients sont positifs et constants.

Le Processus CIR, le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (1985) est une extension du modèle de Vasicek et du processus d'Ornstein-Uhlenbeck qui introduit la racine carrée du taux d'intérêt instantané dans le coefficient du terme stochastique.

Bibliographie

(en) Sandra Cerrai et Alessandra Lunardi, « Schauder theorems for Ornstein-Uhlenbeck equations in infinite dimension », Journal of Differential Equations, Elsevier, vol. 267,‎ 2019, p. 7462-7482 (lire en ligne).

Références

↑ (en) G. E. Uhlenbeck et L. S. Ornstein, « On the Theory of Brownian Motion », Physical Review, vol. 36,‎ 1930, p. 823-841

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ornstein–Uhlenbeck process » (voir la liste des auteurs).

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[1] (en) G. E. Uhlenbeck et L. S. Ornstein, « On the Theory of Brownian Motion », Physical Review, vol. 36,‎ 1930, p. 823-841

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