Modèle de Goodwin (biologie)

Le modèle de Goodwin est un modèle mathématique de régulation génétique proposé en 1963 par le biologiste théoricien britannique Brian C. Goodwin (en). Il s'agit de l'un des premiers modèles d'oscillateur biochimique.

Le modèle repose sur une chaîne de réactions en cascade, toutes excitatrices, mais refermées par une inhibition. Un gène est transcrit en ARN messager. L'ARN messager est ensuite traduit en enzyme. Finalement, l'enzyme catalyse la production d'un métabolite qui réprime la transcription du gène initial. Cette boucle forme un motif de rétroaction négative retardée, qui peut engendrer des oscillations des concentrations en ARN messager et en enzyme.

Modèles

Motif de rétroaction négative retardée de l'oscillateur de Goodwin.

Un gène est transcrit en ARN messager, lui-même traduit en enzyme, et cet enzyme catalyse finalement la production d'un métabolite inhibant en retour la transcription du gène de départ. On note X la concentration en ARN messager, Y la concentration de l'enzyme associé, et Z la concentration du métabolite.

Modèle de Goodwin original (1963)

En supposant que la concentration du métabolite est directement proportionnelle à celle de l'enzyme Y, le système se réduit à deux variables. Le modèle de Goodwin décrit alors l'évolution des quantités X (ARN messager) et Y (protéine) par le système d'équations différentielles suivant :

${\begin{aligned}{\dot {X}}&={\frac {a}{A+kY}}-b\\{\dot {Y}}&=\alpha X-\beta \end{aligned}}$

où a, A, k, b, α et β sont des constantes positives.

Il s'agit d'un système Hamiltonien dont les orbites sont des courbes fermées. De façon analogue aux équations de prédation de Lotka-Volterra, l'amplitude des oscillations est entièrement fixée par les conditions initiales, et le système ne possède aucun cycle limite. Ainsi, bien que le modèle présente un comportement oscillant, aucune oscillation particulière n'est stabilisée de façon à rejeter les perturbations.

Modèle de Goodwin-Griffith (1968)

En 1968, John Stanley Griffith remet en question les hypothèses sous-jacentes au modèle de Goodwin et propose une modélisation alternative de l'oscillateur. Le modèle de Griffith est également appelé modèle de Goodwin-Griffith. Ce dernier abandonne l'hypothèse de proportionnalité entre les quantités Y (protéine) et Z (métabolite), et la dégradation des espèces moléculaires est prise linéaire au lieu de constante. L'inhibition de la transcription du gène est de plus modélisée à l'aide d'une fonction de Hill. Le système d'équations différentielles s'écrit alors :

${\begin{aligned}{\dot {X}}&=k_{1}{\frac {K_{1}^{n}}{K_{1}^{n}+Z^{n}}}-k_{2}X\\{\dot {Y}}&=k_{3}X-k_{4}Y\\{\dot {Z}}&=k_{5}Y-k_{6}Z\end{aligned}}$

où les différentes constantes k, ainsi que n le coefficient de Hill, sont positifs. Le coefficient de Hill représente généralement le nombre de sites de liaison impliqués dans l'inhibition de la transcription du gène.

Cette fois, le système possède un unique état stationnaire qui peut, suivant les paramètres choisis, perdre sa stabilité par bifurcation de Hopf, et donner naissance à un cycle limite stable. John Stanley Griffith considère cependant que les paramètres permettant d'obtenir un cycle limite sont irréalistes en pratique. En particulier, la valeur minimale du coefficient de Hill paraît improbable une fois comparée au nombre typique de sites de liaison impliqués dans l'inhibition de la transcription d'un gène.

Malgré cette limitation, le modèle de Goodwin-Griffith reste largement utilisé, car le coefficient de Hill ne représente pas nécessairement un nombre de sites de liaison. Différents mécanismes biologiques, tels que des réactions rapides de phosphorylation et de déphosphorylation successives, peuvent générer des réponses fortement non linéaires, de sorte qu'une fonction de Hill avec un coefficient élevé peut constituer une approximation pertinente de la dynamique d'inhibition du système.

Applications

Le modèle de Goodwin a notamment été appliqué à l'étude des rythmes circadiens.

Voir aussi

Article connexe

• Biologie des systèmes
• Chronobiologie
• Oscillateur biologique
• Horloge circadienne
• Cycle limite
• Fonction de Hill
• Répresseur