Soit une distribution
de charges
aux points
. Cette distribution
à support compact crée à une grande distance des charges (pour
, avec
longueur caractéristique de la distribution) un potentiel
.
On définit :
![{\displaystyle {\vec {r_{i}}}={\vec {OP_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b84949b7a7754b2ca996ec0b0b4babf637c36c1)
la somme des charges
, indépendant de
si
, nul si
est choisi barycentre des charges
, le moment d'inertie par rapport à ![{\displaystyle O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc)
, l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à ![{\displaystyle O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc)
, l'opérateur linéaire quadrupolaire en ![{\displaystyle O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc)
On peut vérifier que
est de trace nulle :
.
Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante
du tenseur quadrupolaire est
, où
est le symbole de Kronecker.
Théorème :
, avec
En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.
Cas particulier : axe de symétrie
modifier
Lorsque
possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et
est diagonale.
Si on suppose la symétrie autour de l'axe
, alors la matrice des moments est
et
.
Si
n'est pas nul, on choisit
en
, et alors :
, avec
(3e polynôme de Legendre).
Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas,
; l'usage est de poser
.
Le potentiel terrestre est ainsi
.
Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en
(octupolaire),
, etc.).