Moments de Hausdorff

En mathématiques, le problème des moments de Hausdorff est celui des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une suite (m_n) de réels soit la suite des moments

$m_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\,d\mu (x)\,$

d'une mesure de Borel $\mu$ sur le segment [0, 1].

Le nom du problème est associé au mathématicien allemand Felix Hausdorff.

Dans le cas m₀ = 1, ceci équivaut à l'existence d'une variable aléatoire réelle X dans l'intervalle [0, 1] telle que pour tout n, l'espérance de Xⁿ soit égale à m_n.

Ce problème est voisin du problème des moments de Stieljes défini sur l'intervalle $[0,\infty [$, celui de Toeplitz sur $\{t\in \mathbb {C} \mid \left|t\right|=1\}$ et celui de Hamburger sur $\mathbb {R}$ mais à la différence de ceux-ci, la solution, si elle existe, est unique.

Il a été étendu aux espaces bidimensionnels et aux suites tronquées.

Séries monotones

Hausdorff a montré qu'il existe une solution $\mu$ si et seulement si la suite (m_n) est complètement monotone, c'est-à-dire si ses suites de différences satisfont

$(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0$

pour tout n, k ≥ 0, où Δ est l'opérateur différence finie donné par

$(\Delta m)_{n}=m_{n+1}-m_{n}.$

Une telle condition est nécessaire, en effet

$(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{k}\,\mathrm {d} \mu (x)\geq 0$.

Par exemple

$\Delta ^{4}m_{6}=m_{6}-4m_{7}+6m_{8}-4m_{9}+m_{10}=\int x^{6}(1-x)^{4}\,\mathrm {d} \mu (x)\geq 0$.

L'unicité de $\mu$ se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass :

Preuve de l'unicité

Si deux mesures (positives) sur $[a,b]$ ont mêmes moments (finis), leur différence $\mu$ est une mesure bornée de moments nuls, si bien que pour tout polynôme $P$, $\int P\,\mathrm {d} \mu =0$. Par densité des polynômes dans les fonctions continues sur $[a,b]$ (pour la norme uniforme), il en résulte que pour toute fonction continue $f$ continue sur $[a,b]$, $\int f\,\mathrm {d} \mu =0$, autrement dit $\mu =0$.

Suite tronquée

Les problèmes d'approximation en physique conduisent à l'usage de suites tronquées $(m_{0},m_{1},...,m_{p})$. Dans ce cas, si l'on définit les matrices de Hankel suivantes

$A_{k}=\left(m_{(i+j)}\right)_{i,j=0}^{k}\,,\;\;\;B_{k}=\left(m_{(i+j+1)}\right)_{i,j=0}^{k}\,,\;\;\;C_{k}=\left(m_{(i+j)}\right)_{i,j=1}^{k}$

la condition nécessaire et suffisante d'existence sur $\left[a,b\right]$ est

• pour $p=2k$

$A_{k}\geq 0\quad {\text{et}}\quad (a+b)\,B_{k-1}\geq a\,b\,A_{k-1}+C_{k}$

• pour $p=2k+1$

$b\,A_{k}\geq B_{k}\geq a\,A_{k}.$

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hausdorff moment problem » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Ouvrages

• (en) William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 2, John Wiley & Sons, 1971
• (en) Naum Akhiezer (trad. du russe par N. Kemmer), The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, New York, Hafner Publishing, 1965

Article connexe

Méthode des moments (physique statistique)