Moyenne de Gini

En mathématiques, la moyenne de Gini est une généralisation de plusieurs familles de moyennes. Elle a été introduite par le mathématicien italien Corrado Gini en 1938 .

Tracé des moyennes de Gini, de Lehmer et d'ordre p de 1 et 2.

Définition

Étant donnés deux paramètres réels r et s, la moyenne de Gini d'ordre r,s d'une famille de nombres réels strictement positifs x₁,...,x_n est définie par :

$G_{r,s}(x_{1},...x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{r}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{s}}}\right)^{\frac {1}{r-s}}\ \mathrm {si} \ r\neq s,\qquad G_{r,r}(x_{1},...x_{n})=\prod _{i=1}^{n}\exp \left({\frac {x_{i}^{r}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{r}}}\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\frac {x_{i}^{r}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{r}}}$.

En particulier, pour deux réels strictement positifs a,b :

$G_{r,s}(a,b)=\left({\frac {a^{r}+b^{r}}{a^{s}+b^{s}}}\right)^{\frac {1}{r-s}}\ \mathrm {si} \ r\neq s$

$G_{r,r}(a,b)=\left(a^{a^{r}}b^{b^{r}}\right)^{\frac {1}{a^{r}+b^{r}}}.$

Par convention, on désigne la moyenne de Gini d'ordre (1,1) comme la moyenne de Gini :

$G(a,b):=G_{1,1}(a,b)=\left(a^{a}b^{b}\right)^{\frac {1}{a+b}}.$

La littérature donne parfois la définition

$G_{r,s}(x_{1},...x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{r+s}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{s}}}\right)^{\frac {1}{r}}$.

Propriétés

Les moyennes de Gini respectent les conditions de majoration et minoration des moyennes :

$\forall r,s,\ \min(x_{1},...,x_{n})\leqslant G_{r,s}(x_{1},...x_{n})\leqslant \max(x_{1},...x_{n})$

Cependant, elles ne sont pas monotones (augmenter une valeur x_i ne va pas nécessairement faire varier la moyenne de Gini de l'ensemble).

On peut comparer les moyennes de Gini entre elles sous certaines conditions

$G_{r,s}(a,b)\leqslant G_{t,u}(a,b)\ \Longleftrightarrow \ r+s\leqslant t+u\ \mathrm {et} \ {\begin{cases}\min(r,s)\leqslant \min(t,u)&\mathrm {si} \ 0\leqslant \min(r,s,t,u),\\{\frac {|r|-|s|}{r-s}}\leqslant {\frac {|t|-|u|}{t-u}}&\mathrm {si} \ \min(r,s,t,u)<0<\max(r,s,t,u),\\\max(r,s)\leqslant \max(t,u)&\mathrm {si} \ 0\geqslant \max(r,s,t,u),\end{cases}}$

Cas particuliers

• Pour s = 0, les moyennes G_{r , 0} sont les moyennes d'ordre r H_r:
  • le cas G_{1 , 0} est la moyenne arithmétique
  • le cas G_{0 , 0} est la moyenne géométrique
  • le cas G_{2 , 0} est la moyenne quadratique
  • le cas G_{0 , –1} est la moyenne harmonique
• Pour r = s + 1, les moyennes G_{s + 1 , s} sont les moyennes de Lehmer L_s+1.
  • le cas G_{2 , 1} (s = 1) est la moyenne contre-harmonique

Voir aussi

• Moyenne d'ordre p
• Moyenne de Lehmer
• Moyenne de Stolarsky
• Indice de Gini