Moyenne de Heinz

En mathématiques, la moyenne de Heinz, portant le nom du mathématicien allemand E. Heinz, de deux nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, est définie par la formule :

$\operatorname {H} _{x}(a,b)={\frac {a^{x}b^{1-x}+a^{1-x}b^{x}}{2}},$

pour $0\leqslant x\leqslant 1/2$.

Pour $x$ variant de $0$ à $1/2$ la moyenne de Heinz constitue une formule d'interpolation continue et décroissante entre les moyennes arithmétique et géométrique ; plus précisément, pour $0<x<x'<1/2$, on a :

${\sqrt {ab}}=\operatorname {H} _{\frac {1}{2}}(a,b)<\operatorname {H} _{x'}(a,b)<\operatorname {H} _{x}(a,b)<\operatorname {H} _{0}(a,b)={\frac {a+b}{2}}.$

Cette moyenne peut aussi être définie de façon similaire pour les matrices semi-définies positives et constitue alors une formule d'interpolation similaire à celle ci-dessus.

Propriétés

Composition

Pour deux nombres x et y, la composée :

$\operatorname {H} _{x}(\operatorname {H} _{y}(a,b),\operatorname {H} _{y}(a,b))$

est aussi une moyenne de Heinz.

Voir aussi

• Moyenne
• Inégalité de Muirhead
• Inégalité arithmético-géométrique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Heinz mean » (voir la liste des auteurs).