Métrique (physique)

En relativité restreinte et en relativité générale, une métrique est un invariant relativiste infinitésimal ayant la dimension d'une longueur. Mathématiquement, il s'agit d'un tenseur métrique relatif à la variété différentielle représentant l'espace-temps physique. En relativité générale, une métrique dans un référentiel contient toutes les informations sur la gravitation telle qu'elle y est perçue.

Une métrique d'espace-temps — ou, simplement, une métrique — est une métrique lorentzienne c.-à-d. une métrique pseudo-riemannienne dont la signature est $(-,+,+,...,+)$. Elle s'exprime sous la forme d'une somme algébrique de $n$ carrés de formes différentielles linéaires. Le nombre n est égal à celui des composantes covariantes non nulles $\left(g_{\mu \nu }\neq 0\right)$ du tenseur métrique $g$.

Une métrique est l'expression, en coordonnées locales, de la forme quadratique associée à la forme bilinéaire, symétrique et non dégénérée, qu'est le tenseur métrique.

En relativité générale, une métrique est une solution de l'équation d'Einstein.

En relativité générale, la métrique est reliée au tenseur métrique par :

$\mathrm {d} s^{2}=\eta _{\alpha \beta }{\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}\mathrm {d} x^{\mu }{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\mathrm {d} x^{\nu }=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }$,

avec :

$g_{\mu \nu }={\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\eta _{\alpha \beta }$

La notation $\mathrm {d} s^{2}$ est due à Gauss.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

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Articles connexes

• Métrique de Schwarzschild
• Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
• Métrique (mathématiques)
• Tenseur métrique