Nombre de Thebit

En arithmétique, les nombres de Thebit sont les entiers de la forme 3 × 2ⁿ – 1.

Ils forment la suite d'entiers  A055010 de l'OEIS : 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, etc.

Les premières études de ces nombres sont créditées à Thebit (Thābit ibn Qurra), de même que celles de leurs relations avec les nombres amicaux.

Nombres de Thebit premiers

Les dix-huit plus petits nombres de Thebit premiers sont (suite A007505 de l'OEIS) :

3·2⁰ – 1 = 2
3·2¹ – 1 = 5
3·2² – 1 = 11
3·2³ – 1 = 23
3·2⁴ – 1 = 47
3·2⁶ – 1 = 191
3·2⁷ – 1 = 383
3·2¹¹ – 1 = 6 143
3·2¹⁸ – 1 = 786 431
3·2³⁴ – 1 = 51 539 607 551
3·2³⁸ – 1 = 824 633 720 831
3·2⁴³ – 1 = 26 388 279 066 623
3·2⁵⁵ – 1 = 108 086 391 056 891 903
3·2⁶⁴ – 1 = 55 340 232 221 128 654 847
3·2⁷⁶ – 1 = 226 673 591 177 742 970 257 407
3·2⁹⁴ – 1 = 59 421 121 885 698 253 195 157 962 751
3·2¹⁰³ – 1 = 30 423 614 405 477 505 635 920 876 929 023
3·2¹⁴³ – 1 = 33 451 117 797 795 934 712 303 577 408 972 542 258 970 623

Les exposants n qui produisent des nombres de Thebit premiers forment la suite A002235 de l'OEIS. Le 62^e (le plus grand connu en 2015) est n = 11 895 718.

Lien avec les nombres amicaux

Quand $n$ et $n-1$ produisent tous deux un nombre de Thebit premier, et que $9\cdot 2^{2n-1}-1$ est aussi premier, alors, une paire de nombres amicaux peut être calculé de la manière suivante:

$\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)$ pour le premier et

$\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).$ pour le second.

Par exemple, $n=2$ produit le nombre de Thebit premier 11, $n-1=1$ le nombre de Thebit premier 5, et $9\cdot 2^{2n-1}-1$ 71. Alors, 2²=4, multiplié par 5 et 11 est égal à 220, dont la somme des diviseurs est 284, égal à 4 fois 71, et dont la somme des diviseurs est 220.

Les seules valeurs connues de $n$ qui satisfont ces conditions sont 2, 4 et 7, qui correspondent aux nombres de Thebit premiers 11, 47 et 383 produits par $n$, au nombres de Thebit premiers 5, 23 et 191 produits par $n-1$, et aux nombres premiers 71, 1151 et 73727 pour la troisième valeur. Les paires de nombres amicaux correspondantes sont (220, 284), (17296, 18416) et (9363584, 9437056).

Articles connexes

Test de primalité de Lucas-Lehmer-Riesel (en)