Nombre polytopique centré
En arithmétique géométrique, un nombre polytopique centré, ou nombre hyperpolyédrique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope (ou hyperpolyèdre), par couches successives à partir du centre.
Cas des trois familles de polytopes réguliers en toutes dimensions
modifierPour un polytope de dimension possédant, pour , cellules de dimension qui sont toutes des polytopes équivalents ( ), le nombre de points ajoutés à l'étape est
où est le nombre polytopique d'ordre associé aux cellules de dimension , auquel on retranche le nombre de points situés sur leur frontière[1].
Nombres simpliciaux centrés ou hypertétraédriques centrés
modifierCe sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le -ième nombre -simplicial centré ou hypertétraédrique centré de dimension [2] est le nombre de points dans un -simplexe dont les arêtes comportent points.
On l'obtient par la formule : où est le nombre simplicial non centré de dimension .
Avec la formule de la crosse de hockey, ceci se simplifie en .
Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :
- (nombres linéaires centrés)
- , nombres triangulaires centrés, suite A005448 de l'OEIS
- , nombres tétraédriques centrés, suite A005894 de l'OEIS
- , nombres pentatopiques centrés, suite A008498 de l'OEIS
- , nombres 5-hypertétraédriques centrés, suite A008499 de l'OEIS
- , nombres 6-hypertétraédriques centrés, suite A008500 de l'OEIS.
Nombres hypercubiques centrés
modifierCe sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube, polytope généralisant le carré et le cube. Le -ième nombre - hypercubique centré ou hypercubique centré de dimension est le nombre de points dans un hypercube dont les arêtes comportent points. Il est égal à .
Par exemple, pour les dimensions de 1 à 4, ce sont :
- (nombres linéaires centrés)
- , nombres carrés centrés, suite A005448 de l'OEIS
- , nombres cubiques centrés, suite A005898 de l'OEIS
- , nombres 4-hypercubiques centrés, suite A008514 de l'OEIS
Nombres hyperoctaédriques centrés
modifierCe sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre, polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le -ième nombre - hyperoctaédrique centré ou hyperoctaédrique centré de dimension est le nombre de points dans un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent points. Il est égal à [2], et il n'est autre que le nombre de Delannoy .
Cas des cinq polytopes réguliers exotiques
modifierEn dimension trois
modifierEn dimension quatre
modifierPour les nombres hyperdodécaédriques centrés ou hécatonicosachoriques centrés, les nombres hypericosaédriques centrés ou hexacosichoriques centrés, et les nombres hypergranatoédriques centrés ou icositétrachoriques centrés :
Voir aussi
modifier- Nombre polytopique (non centré)
Notes et références
modifier- (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 186, 194, 200
- (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 219-232