Nombre premier régulier

En mathématiques, un nombre premier $p>2$ est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme $X^{p}-1$ est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat », dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von $x^{\lambda }+y^{\lambda }=z^{\lambda }$ für eine unendliche Anzahl Primzahlen $\lambda$ ».

Définitions

Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$, où $\zeta _{p}$ est une racine primitive $p$-ième de l'unité.

Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le critère de Kummer : p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli B_k, pour $k$ prenant les valeurs paires entre $2$ et $p-3$.

Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier. Les nombres premiers irréguliers forment la suite A000928 de l'OEIS : 37, 59, 67, 101, etc., les réguliers formant la suite  A007703.

Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi) assure que pour tout sous-groupe propre $H$ du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ, il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo $n$ n'appartient pas à $H$.

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte.

Travaux de Kummer

Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si $p$ est un nombre premier régulier, l'équation $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ n'a pas de solutions pour $x,\ y$ et $z$ entiers relatifs tous non divisibles par $p$. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

$\prod _{i=0}^{p-1}(x+\zeta _{p}^{i}y)=z^{p},$

dans le corps $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$. Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux $(x+\zeta _{p}^{i}y)$ et l'idéal ($z$) élevé à la puissance $p$. On peut montrer que les idéaux $(x+\zeta _{p}^{i}y)$ sont premiers entre eux ; la théorie de la décomposition des idéaux premiers et celle des anneaux de Dedekind permettent d'assurer que chacun est la puissance $p$-ième d'un certain autre idéal $A_{i}$ ; l'idéal $A_{i}^{p}$ est principal, l'hypothèse que le nombre $p$ est régulier — il n'est pas diviseur du nombre de classes de $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ — montre alors que l'idéal $A_{i}$ lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme $x+\zeta _{p}^{i}y=\varepsilon \alpha ^{p}$, pour une certaine unité $\varepsilon$. Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.

Articles connexes

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