Nombre premier long

En arithmétique, un nombre premier long en base $b$ est un nombre premier $p$ tel que la période du développement en base $b$ du rationnel $1/p$ ait une longueur maximale, à savoir $p-1$.

Par exemple le nombre premier 7 est long en base 10 car $1/7=0,{\overline {142857}}$ (période de longueur 6), mais 13 ne l'est pas car $1/13=0,{\overline {076923}}$ (période de longueur 6).

Sauf mention explicite, la base $b$ considérée est la base dix.

L'appellation "nombre premier long" a été proposée par Conway et Guy dans leur "livre des nombres".

Caractérisations

La longueur de la période du développement en base $b$ non divisible par $p$ du rationnel $1/p$ (laquelle commence directement après la virgule) étant égale à l'ordre de ${\overline {b}}$ dans le groupe $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$, le nombre $p$ est un nombre premier long en base $b$ si et seulement si le groupe $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$ admet ${\overline {b}}$ comme générateur, ou ce qui est équivalent, si $b$ est une racine primitive modulo $p$.

Ceci équivaut au fait que le nombre $p$ ne divise aucun des nombres $b^{d}-1=(b-1)\times {\underset {d{\text{ chiffres 1}}}{\underbrace {11...1_{b}} }}$ où $d$ est un diviseur strict de $p-1$.

En particulier, en base 10, un nombre premier $p$ différent de deux, trois et cinq est long si et seulement s'il ne divise aucun rep-unit $R_{d}$ avec $d$ diviseur strict de $p-1$.

Une caractérisation équivalente est que l'entier ${\frac {b^{p-1}-1}{p}}$ soit cyclique.

Exemples

• Les dix premiers nombres premiers longs en base 10 sont 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97 ,109 : suite A001913 de l'OEIS.
• Les dix premiers nombres premiers long en base 2 sont : 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61 : suite A001122 de l'OEIS
• 2 est long en toute base impaire.
• 3 est long en base $3m+2$ car ${\overline {3m+2}}={\overline {2}}$ engendre $(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{*}$ ; on a $1/3=0,{\overline {m(2m+1)}}_{3m+2}$.
• 5 est long en bases $5m+2$ et $5m+3$ car ${\overline {2}}$ et ${\overline {3}}$ engendrent $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{*}$; on a $1/5=0,{\overline {m(2m)(4m+1)(3m+1)}}_{5m+2}$ et $1/5=0,{\overline {m(3m+1)(4m+2)(2m+1)}}_{5m+3}$

Conjecture d'Artin

D'après la conjecture d'Artin sur les racines primitives, la densité asymptotique de l'ensemble des nombres premiers longs en base $b$, si $b$ n'est pas une puissance parfaite et si sa partie sans facteur carré n'est pas congrue à 1 modulo 4 (ce qui est le cas de 10), alors l'ensemble des nombres premiers longs en base $b$ a pour densité asymptotique la constante d'Artin : $\prod _{p\ \mathrm {premier} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0{,}3739558136\ldots$.Ceci impliquerait l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers longs dans une telle base, mais même ceci n'est pas prouvé.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Full reptend prime » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Liste de suites de nombres premiers
• Nombre cyclique
• Théorème de Midy