Nombre sublime

Un nombre sublime est un entier naturel dont le nombre des diviseurs et la somme des diviseurs sont tous deux des nombres parfaits.

Exemples

• 12 est un nombre sublime. En effet,
  • ses diviseurs (1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont au nombre de 6, qui est parfait ;
  • leur somme, 28, est également un nombre parfait.
• On ne connaît que deux nombres sublimes : 12 et (2¹²⁶)(2⁶¹ − 1)(2³¹ − 1)(2¹⁹ − 1)(2⁷ − 1)(2⁵ − 1)(2³ − 1). Le second comporte 76 chiffres :

6 086 555 670 238 378 989 670 371 734 243 169 622 657 830 773 351 885 970 528 324 860 512 791 691 264.

Formule

Il est possible de trouver des nombres sublimes à l'aide de la formule suivante :

$N=2^{q-1}\left(\prod m_{i}\right)$

où N est un nombre sublime aux conditions suivantes :

• q et 2q – 1 doivent être des nombres premiers.
• q = 2p – 1, où p est également premier.
• q – 1 doit pouvoir se décomposer en une somme de p – 1 nombres premiers distincts l₁, …, l_{p – 1}, de sorte que pour tout i, m_i = 2^li – 1 soit aussi premier.

Voir aussi

Articles connexes

• Liste de nombres

Liens externes

• Nombres sublimes
• (en) Sublime Numbers